Reguläre Untergruppe einer Lie-Gruppe

Reguläre Untergruppen einer Lie-Gruppe sind eine Klasse diskreter Untergruppen der Lie-Gruppe, die eine Reihe von Eigenschaften mit diskreten Untergruppen in Rang-1-Lie-Gruppen gemeinsam haben. (Insbesondere sind alle diskreten Untergruppen von Rang-1-Lie-Gruppen regulär.)

Sie sind von Bedeutung in Darstellungstheorie und Differentialgeometrie, unter anderem wird der Begriff verwendet bei der Untersuchung von Anosov-Darstellungen und Morse-Darstellungen. Insbesondere ist die Regularitätsbedingung Teil der Definition von RCA-Gruppen, welche in der Theorie von Gruppenwirkungen auf symmetrischen Räumen höheren Rangs den aus der Theorie Kleinscher Gruppen bekannten Begriff konvex-kokompakter Gruppen verallgemeinern.

Definition

Es sei $X=G/K$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Es sei $\Delta \subset F$ eine fest gewählte Weyl-Kammer in einem maximalen Flach $F\subset X$. Zu jedem $x\in X$ gibt es einen eindeutigen Punkt

${\overline {x}}\in \Delta$

im $G$-Orbit von $x$.

Eine Folge $x_{n}\in X$ heißt regulär, wenn

$\lim _{n\to \infty }d({\overline {x_{n}}},\partial \Delta )=\infty$

gilt.

Eine diskrete Untergruppe $\Gamma \subset G$ heißt regulär, wenn für jede Folge $(\gamma _{n}\in \Gamma )_{n\in \mathbb {N} }$ und ein $x\in X$ die Folge

$x_{n}:=\gamma _{n}x\in X$

regulär ist. (Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Basispunktes $x\in X$.)

Sie heißt gleichmäßig regulär, wenn es ein $\epsilon >0$ mit

$d({\overline {\gamma x}},\partial \Delta )>\epsilon \parallel \gamma x\parallel$

für alle $\gamma \in \Gamma$ gibt. (Auch diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Basispunktes $x\in X$.)

Lie-Theoretische Formulierung

Algebraisch lässt sich Regularität unter Benutzung der Cartan-Zerlegung ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ und der Exponentialabbildung $exp_{x}\colon {\mathfrak {p}}\to G/K=X$ wie folgt definieren.

Wähle eine Basis einfacher Wurzeln $\left\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}\right\}\subset {\mathfrak {g}}$. Eine Folge $x_{n}\in X$ ist genau dann regulär, wenn

$\lim _{n\to \infty }\alpha _{i}(x_{n})=\infty$ für $i=1,\ldots ,r$

gilt.

Beispiele

Wenn $X=G/K$ ein symmetrischer Raum vom Rang $rank(G/K)=1$ ist, dann ist jede diskrete Untergruppe $\Gamma \subset G$ regulär; das folgt tautologisch aus $\partial \Delta =\emptyset$.

Einfache Beispiele regulärer Untergruppen für symmetrische Räume $X^{\prime }=G^{\prime }/K^{\prime }$ vom Rang $\geq 2$ erhält man mittels Lie-Gruppen-Homomorphismen $\phi \colon G\to G^{\prime }$ einer Lie-Gruppe $G$ mit $rank(G/K)=1$. Für jede diskrete Untergruppe $\Gamma \subset G$ ist ihr Bild $\Gamma ^{\prime }:=\phi (\Gamma )$ eine reguläre Untergruppe von $G^{\prime }$.

Es gibt zahlreiche weitere Beispiele regulärer Untergruppen. Potrie-Sambarino haben bewiesen, dass die Bilder aller Anosov-Darstellungen (insbesondere aller hyperkonvexen Darstellungen) reguläre Untergruppen von $PGL(d,\mathbb {R} )$ sind.

Literatur

M. Kapovich, B. Leeb, J. Porti: Morse actions of discrete groups on symmetric spaces pdf