Regulator (Zahlentheorie)

Der Regulator bezeichnet in der Zahlentheorie eine Größe, die Auskunft über die Einheiten eines algebraischen Zahlkörpers gibt. Jedem Zahlkörper $K$ ist ein solcher Regulator $R_{K}$ zugeordnet.

Definition

Sei $K$ ein algebraischer Zahlkörper mit Erweiterungsgrad $[K:\mathbb {Q} ]=n$. Sei $r$ die Anzahl der reellen Einbettungen von $K$ und $2s$ die Anzahl der komplexen Einbettungen, es gilt also $n=r+2s$. Dann ist der freie Teil der Einheitengruppe des ganzen Abschlusses ${\mathcal {O}}_{K}$ von $\mathbb {Z}$ in $K$ nach dem dirichletschen Einheitensatz isomorph zu $\mathbb {Z} ^{r+s-1}$. Bildet man die Einheitengruppe ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$ über

$a\mapsto (\ln(|\rho _{1}(a)|),\dots ,\ln(|\rho _{r}(a)|),2\ln(|\sigma _{1}(a)|),\dots ,2\ln(|\sigma _{s}(a)|))$

in den $\mathbb {R} ^{r+s}$ ab, wobei $\rho _{1},\dots ,\rho _{r}$ die reellen Einbettungen und $\sigma _{1},{\overline {\sigma _{1}}}\dots ,\sigma _{s},{\overline {\sigma _{s}}}$ die komplexen Einbettungen sind, so ist das Bild ein $(r+s-1)$-dimensionales Gitter des Volumens $V$. Der Regulator $R_{K}$ ist nun definiert als

$R_{K}:={\frac {V}{\sqrt {r+s}}}.$

Er stellt eine wichtige Größe des Zahlkörpers dar und taucht zum Beispiel in der Klassenzahlformel wieder auf.

Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen dieses Begriffs sind unter anderem der Borel-Regulator und der Beilinson-Regulator. Zur Abgrenzung von diesen wird der in diesem Artikel beschriebene Spezialfall auch als Dirichletscher Regulator bezeichnet.

Literatur

• S. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag, 1966.