Reziprokenregel

Die Reziprokenregel oder Kehrwertregel dient zur Ableitung von Funktionen der Form ${\textstyle f(x)={\frac {1}{v(x)}}\,.}$ In Kurzschreibweise lautet sie

$\left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}}\,.$

Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der Quotientenregel mit der konstanten Funktion $u(x)=1$ im Zähler aufgefasst werden.

Regel

Ist die Funktion $v(x)$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x_{0}$ mit $v(x_{0})\neq 0$ differenzierbar, so ist auch die Funktion $f$ mit $f(x)=1/v(x)$ an der Stelle $x_{0}$differenzierbar und es gilt

$f'(x_{0})=-{\frac {v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}.$

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

$f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

berechnet sich an allen Stellen $x$ mit $\sin(x)\neq 0$ nach der Reziprokenregel zu

$f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}$.

Dabei wurde benutzt, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.

Beweis

Ist $v$ an $x_{0}$ differenzierbar, so ist $v$ dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung $v(x_{0})\neq 0$ gibt es deshalb eine Umgebung von $x_{0}$, in der überall $v(x)\neq 0$ ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

${\frac {1/v(x)-1/v(x_{0})}{x-x_{0}}}$

von ${\textstyle f(x)=1/v(x)}$ wohldefiniert. Bildet man den Hauptnenner der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

$-{\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {1}{v(x)v(x_{0})}}$.

Beim Grenzübergang $x\to x_{0}$ strebt der erste Faktor gegen $v'(x_{0})$ und der zweite Faktor gegen ${\textstyle 1/v(x_{0})^{2}}$. Also ist

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=-{\frac {v'(x_{0})}{v(x_{0})^{2}}}.$