Riemannscher homogener Raum
Im mathematischen Gebiet der Differenzialgeometrie ist ein Riemannscher homogener Raum (häufig auch nur Homogener Raum) ein Raum, der „in allen Punkten gleich aussieht“.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Riemannscher homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit , deren Isometriegruppe transitiv wirkt, d. h. zu je zwei Punkten gibt es eine Isometrie mit .
Beschreibung mittels Lie-Gruppen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Jeder Riemannsche homogene Raum ist von der Form
für eine Lie-Gruppe und eine kompakte Untergruppe .
Umgekehrt ist für eine Lie-Gruppe und eine abgeschlossene Untergruppe der Quotientenraum eine Hausdorffsche differenzierbare Mannigfaltigkeit und jedes unter der adjungierten Wirkung von auf der Lie-Algebra invariante Skalarprodukt definiert eine links-invariante Riemannsche Metrik, mit der ein Riemannscher homogener Raum wird. Ein solches -invariantes Skalarprodukt auf existiert genau dann, wenn kompakt ist.
Riemannsche Metrik
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Riemannscher homogener Raum hat nach Definition eine -invariante Metrik, die sich zu einer links-invarianten Metrik auf hochheben lässt. Die Quotientenabbildung ist bzgl. dieser Metriken eine Riemannsche Submersion. Insbesondere kann man die Krümmung von mit der O’Neill-Formel berechnen, wenn man die Krümmung von kennt.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Jede Lie-Gruppe mit einer links-invarianten Metrik ist ein Riemannscher homogener Raum.
- Jeder symmetrische Raum ist ein Riemannscher homogener Raum.
- Es gibt nicht-Riemannsche homogene Räume mit einer nicht-kompakten Untergruppe .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1975.