Rossi-Verteilung

Die Rossi-Verteilung ist die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen. Da die Gumbelverteilung eine Extremwertverteilung vom Typ I ist, die als Grenzverteilung des Maximums stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen auftritt, kann die Rossi-Verteilung als eine Extremwertverteilung in einem weiteren Sinn aufgefasst werden. Sie wird auch als Zwei-Komponenten-Extremwertverteilung (engl. two component extreme value distribution, TCEV) bezeichnet.

Sie wird vor allem in der Hochwasseranalyse verwendet, wenn zwei Einflussfaktoren mit jeweils eigenen Extremwertverteilungen vorliegen.

Definition

Eine stetige reellwertige Zufallsvariable $X$ genügt einer Rossi-Verteilung mit den Parametern $c_{1}\in \mathbb {R} ,c_{2}\in \mathbb {R} ,d_{1}>0,d_{2}>0$, wenn sie die Verteilungsfunktion

$F(x)=\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{1}}{d_{1}}}}\right)\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{2}}{d_{2}}}}\right)\quad {\text{für }}x\in \mathbb {R}$

besitzt.

Eigenschaften

Die oben angegebene Verteilungsfunktion $F$ einer Rossi-Verteilung ist das Produkt von zwei Verteilungsfunktionen

$F_{j}(x)=\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{j}}{d_{j}}}}\right),\quad j=1,2,$

die jeweils zu einer Gumbel-Verteilung mit dem Lageparameter $c_{j}$ und dem Skalenparameter $d_{j}$ gehören. Für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_{1}$ und $X_{2}$ mit den Verteilungsfunktion $F_{1}$ und $F_{2}$ hat die Zufallsvariable $X=\max\{X_{1},X_{2}\}$ die Verteilungsfunktion $F=F_{1}F_{2}$, da

$F(x)=P(X\leq x)=P(\max\{X_{1},X_{2}\}\leq x)=P(X_{1}\leq x,X_{2}\leq x)=P(X_{1}\leq x)P(X_{2}\leq x)=F_{1}(x)F_{2}(x)$.

Die Rossi-Verteilung ist also die Verteilung des Maximums von zwei stochastisch unabhängigen Gumbel-verteilten Zufallsvariablen.

Eine Rossi-verteilte Zufallsvariable hat die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\left({\frac {1}{d_{1}}}e^{\frac {x-c_{1}}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}e^{\frac {x-c_{2}}{d_{2}}}\right)\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{1}}{d_{1}}}}\right)\exp \left(-e^{-{\frac {x-c_{2}}{d_{2}}}}\right)\quad {\text{für }}x\in \mathbb {R} \;.$

Es wird auch die alternative Parametrisierung

$F(x)=\exp \left(-\lambda _{1}e^{-{\frac {x}{d_{1}}}}-\lambda _{2}e^{-{\frac {x}{d_{2}}}}\right)$

mit den Parametern $\lambda _{1}>0,\lambda _{2}>0,d_{1}>0,d_{2}>0$ verwendet, die sich mit $\lambda _{j}=\exp(c_{j}/d_{j})$ für $j=1,2$ ergibt.