Sätze von Cohen-Seidenberg

Die Sätze von Cohen-Seidenberg, benannt nach Irvin Cohen und Abraham Seidenberg, sind zwei Sätze aus dem mathematischen Gebiet der kommutativen Algebra. Sie sind auch als Going up und Going down bekannt und befassen sich mit Primideal-Ketten in Ringerweiterungen.

Situation

Sei $S\supset R$ eine Ringerweiterung zweier kommutativer Ringe mit demselben Einselement. Sind $P\subset S$ und $p\subset R$ Primideale, so sagt man $P$ liege über $p$, falls $p=P\cap R$.

Ist $P\subset S$ ein Primideal, so ist $p:=R\cap P$ ein Primideal in $R$ und $P$ liegt über $p$. Ist $S\supset R$ eine ganze Ringerweiterung und $P_{0}\subset \ldots \subset P_{n}$ eine Primidealkette mit echten Inklusionen in $S$, so ist $P_{0}\cap R\subset \ldots \subset P_{n}\cap R$ eine Primidealkette mit echten Inklusionen in $R$. Hier gehen wir der Frage nach, ob man umgekehrt Primidealketten in $R$ zu solchen nach $S$ "heben" kann, so dass die Primideale der Kette in $S$ über denen der gegebenen Kette in $R$ liegen. Dazu muss man zunächst einmal sicherstellen, dass über den Primidealen in $R$ stets Primideale aus $S$ liegen.

Betrachtet man etwa die Ringerweiterung $\mathbb {Q} \supset \mathbb {Z}$ und ist $\pi \in \mathbb {Z}$ eine Primzahl, so ist das erzeugte Hauptideal $p=(\pi )$ ein Primideal und es gibt kein Primideal in $\mathbb {Q}$, das über $p$ liegt. Handelt es sich bei $S\supset R$ aber um eine ganze Ringerweiterung, so kann man zeigen, dass über jedem Primideal aus $R$ stets ein Primideal aus $S$ liegt.

Ist also $S\supset R$ eine ganze Ringerweiterung und $p_{0}\subset \ldots \subset p_{n}$ eine Primidealkette in $R$, so kann man für jedes $i$ ein über $p_{i}$ liegendes Primideal $P_{i}\subset S$ finden. Es stellt sich nun die Frage, ob man die $P_{i}$ auch so wählen kann, dass sie eine aufsteigende Kette bilden. Genau diese Frage beantworten die Sätze von Cohen-Seidenberg.

Going up

Es sei $S\supset R$ eine ganze Ringerweiterung, $p_{0}\subset \ldots \subset p_{n}$ eine Primidealkette in $R$ und das Primideal $P_{0}$ liege über $p_{0}$:

${\begin{array}{ccccccc}P_{0}&\\\downarrow &\\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}$

Dann gibt es über den $p_{i}$ liegende Primideale $P_{i}$, $i>0$, die eine aufsteigende Kette bilden:

${\begin{array}{ccccccc}P_{0}&\subset &P_{1}&\subset &\ldots &\subset &P_{n}\\\downarrow &&\downarrow &&&&\downarrow \\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}$

Going down

Beginnt man in der Situation des Going up-Satzes statt mit einem über $p_{0}$ liegenden Primideal mit einem über $p_{n}$ liegenden, so benötigt man für eine analoge Aussage zusätzliche Voraussetzungen:

Es sei $S\supset R$ eine ganze Ringerweiterung von Integritätsringen mit normalem $R$, $p_{0}\subset \ldots \subset p_{n}$ sei eine Primidealkette in $R$ und das Primideal $P_{n}$ liege über $p_{n}$:

${\begin{array}{ccccccc}&&&&&&P_{n}\\&&&&&&\downarrow \\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}$

Dann gibt es über den $p_{i}$ liegende Primideale $P_{i}$, $i<n$, die eine aufsteigende Kette bilden:

${\begin{array}{ccccccc}P_{0}&\subset &P_{1}&\subset &\ldots &\subset &P_{n}\\\downarrow &&\downarrow &&&&\downarrow \\p_{0}&\subset &p_{1}&\subset &\ldots &\subset &p_{n}\,.\end{array}}$

Bedeutung

Primidealketten spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Dimension eines Ringes. Aus dem Going up-Satz ergibt sich sofort $\mathrm {dim} \,R=\mathrm {dim} \,S$ für eine ganze Ringerweiterung $S\supset R$. Der Going down-Satz kann verwendet werden, um

$\mathrm {dim} \,K[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n$

zu zeigen, wobei $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Unbestimmten über dem Körper $K$ ist.