SIS-Modell

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Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

Voraussetzungen

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Infizierte gehen nach Genesung wieder in die Gruppe der Gesunden über.

Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt   bezeichnet die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei  die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:

  • Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
  • Infizierte sind sofort ansteckend.
  • Gesunde erkranken mit der linearen Rate .
  • Infizierte genesen mit der linearen Rate .
  • Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
  • Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also .

Differentialgleichungen des SIS-Modells

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Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:

Verlauf der Zahl der Infizierten und Gesunden.

Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:

Wegen lässt sich das SIS-Modell vollständig durch

beschreiben. Definiere , wodurch sich die DGL als schreiben lässt.

Lösungen der Differentialgleichung

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Durch Trennung der Variablen folgt: , woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion mit der Anfangsbedingung folgt:Die Zahl der Gesunden folgt durch aus der Lösung für .

Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen

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Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über:

Die Änderung kann nach oben abgeschätzt werden durch: .

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Abgrenzungen zu weiteren Modellen

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Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:

  • Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
  • Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.
  • Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer
  • Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. (tu-Freiburg [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).