Satz von Baily und Borel

Der Satz von Baily und Borel ist ein Lehrsatz der Mathematik, der insbesondere für die Konstruktion von Shimura-Varietäten von Bedeutung ist.

Sei $D$ ein hermitescher symmetrischer Raum und $\Gamma$ eine torsionsfreie arithmetische Untergruppe von $\operatorname {Hol} ^{+}(D)$, der Zusammenhangskomponente der Eins der Gruppe holomorpher Automorphismen von $D$. Dann besagt der Satz von Bailey und Borel, dass $D(\Gamma ):=\Gamma \backslash D$ als Zariski-offene Teilmenge einer projektiven Varietät $D(\Gamma )^{*}$ realisiert werden kann und also eine algebraische Varietät ist.

Die Idee des Beweises ist, dass man $D(\Gamma )^{*}$ durch Adjunktion gewisser „rationaler“ Randpunkte zu $D(\Gamma )$ gewinnt (Satake-Kompaktifizierung) und dass durch die automorphen Formen von hinreichend großem Gewicht dann $D(\Gamma )^{*}$ als abgeschlossener Unterraum in einen projektiven Raum eingebettet werden kann. Beispielsweise kann man für $D=\mathbb {H} ^{2}$ (die hyperbolische Ebene) $D(\Gamma )^{*}=\Gamma \backslash (\mathbb {H} ^{2}\cup P^{1}\mathbb {Q} )$ wählen, also die endlich vielen Spitzen von $\Gamma$ hinzunehmen.

Literatur

• W. Baily, A. Borel: Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains. Ann. of Math. (2) 84, 442–528, 1966.