Satz von Barratt-Priddy-Quillen

Der Satz von Barratt-Priddy-Quillen ist ein Lehrsatz aus der stabilen Homotopietheorie, einem Teilgebiet der algebraischen Topologie innerhalb der Mathematik. Er ist nach Michael Barratt, Stewart Priddy und Daniel Gray Quillen benannt.

Aussage

Bezeichne $S^{n}$ die $n$-dimensionale Sphäre und $Map_{0}(S^{n},S^{n})$ den Raum der Abbildungen $f\colon S^{n}\to S^{n}$ vom Grad 0 mit $f(x)=x$ für einen fest gewählten Punkt $x\in S^{n}$, mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz. Weiter bezeichne $\Sigma _{n}$ die symmetrische Gruppe aus $n$ Elementen und $\textstyle \Sigma _{\infty }=\bigcup _{n}\Sigma _{n}$ sowie $H_{k}(\Sigma _{n})$ die $k$-te Homologiegruppe.

Der Satz von Barratt-Priddy besagt

$H_{k}(\Sigma _{n})=H_{k}(Map_{0}(S^{n},S^{n}))$

für alle $n\geq 2k$.

Eine äquivalente Formulierung besagt

$\mathbb {Z} \times B\Sigma _{\infty }^{+}\simeq \Omega ^{\infty }S^{\infty }$.

Hierbei bezeichnet $B\Sigma _{\infty }^{+}$ die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum $B\Sigma _{\infty }$.

Insbesondere erhält man den folgenden Zusammenhang zur stabilen Homotopiegruppe der Sphäre:

$\pi _{i}(B\Sigma _{\infty }^{+})=\pi _{i}^{s}(S^{0})$

Literatur

• M. Barratt, S. Priddy: On the homology of non-connected monoids and their associated groups, Commentarii Mathematici Helvetici 47, 1–14