Satz von Bichteler-Dellacherie
Der Satz von Bichteler-Dellacherie ist ein wichtiger Satz aus der stochastischen Analysis. Er charakterisiert die Semimartingale durch eine Zerlegung des Prozesses in ein lokales Martingal und einen Prozess mit endlicher Variation.[1] Als Konsequenz daraus folgt, dass die Integration mit Semimartingalen als Integratoren existiert.
Der Satz wurde von Klaus R. Bichteler (1979/1981) und Claude Dellacherie (1980) unabhängig voneinander bewiesen.[2][3][4] Für den Beweis benötigt man meistens die Doob-Meyer-Zerlegung, eine Verallgemeinerung der Doob-Zerlegung in stetiger Zeit.
Satz von Bichteler-Dellacherie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]FV-Prozess
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Càdlàg-Prozess ist ein Prozess endlicher Variation oder FV-Prozess (von englisch Finite-Variation), wenn fast alle Pfade von auf jedem kompakten Intervall von eine endliche Variation besitzen.[5]
Formulierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein adaptierter Càdlàg-Prozess ist genau dann ein Semimartingal (im Sinne der 1. Definition), wenn sich in
zerlegen lässt, wobei ein lokales Martingal und ein adaptierter FV-Prozess ist.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Mathias Beiglböck und Pietro Siorpaes: Riemann-integration and a new proof of the Bichteler–Dellacherie theorem. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 124, Nr. 3, 2014, ISSN 0304-4149, S. 1226–1235, doi:10.1016/j.spa.2013.10.001 (sciencedirect.com).
- Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 39.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 144.
- ↑ Bichteler, Stochastic Integrators, Bulletin of the American Mathematical Society, Band 1, 1979, S. 761–765
- ↑ Bichteler, Stochastic Integration and theory of semimartingales, Annales of Probability, Band 9,1981, S. 49–89
- ↑ Dellacherie,Un survol de la théorie de l'intégrale stochastique, Stochastic Processes and Their Applications, Band 10, 1980, S. 115–144
- ↑ Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 39.