Satz von Bose

Der Satz von Bose (nach Raj Chandra Bose) ist eine Ungleichung, die in der Kombinatorik und in der endlichen Geometrie von Bedeutung ist. Sie beschreibt eine Beziehung verschiedener Parameter in einer als Blockplan bezeichneten Struktur und liefert dabei auch ein notwendiges Kriterium für deren Existenz bei einer gegebenen Parameterkombination. Das heißt, erfüllt eine Parameterkombination die Ungleichung nicht, so existiert der zugehörige Blockplan nicht.

Die Ungleichung beschreibt, in welcher Beziehung

die Anzahl der Punkte v,

die Anzahl der Blöcke b und

die Anzahl r der Blöcke durch einen, also jeden Punkt

eines $2{\text{-}}(v,k,\lambda )$ Blockplans stehen müssen. Sie stellt eine Verschärfung der Fisher-Ungleichung für Blockpläne mit Parallelismen dar.

Für jeden $2{\text{-}}(v,k,\lambda )$ Blockplan D, der einen Parallelismus besitzt, gilt:

$b\geq v+r-1$ und $b=v+r-1\Leftrightarrow$ $D$ ist affin.

Gleichheit liegt also genau dann vor, wenn der Blockplan affin ist.

Literatur

• A. Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. S. 47, Bibliographisches Institut 1983, ISBN 3-411-01648-5