Satz von Carmichael

Der Satz von Carmichael (nach Robert Daniel Carmichael, 1910) ist eine zahlentheoretische Aussage über eine spezielle Klasse von einfach zu programmierenden Zufallszahlengeneratoren und liefert Kriterien, die dabei helfen, Generatoren von möglichst guter Qualität zu wählen.

Aussage des Satzes

Sei eine natürliche Zahl $m$ vorgegeben (der sog. Modul). Zu jeder ganzen Zahl $a$ als Faktor und jeder ganzen Zahl $y_{0}$ im Bereich von 0 bis $m\!-\!1$ (einschließlich) als Startwert (oder Saat) kann man den multiplikativen Kongruenzgenerator $y_{i+1}\equiv (ay_{i})\ {\bmod {\ }}m$ definieren. Die Kombination von $a$ und $y_{0}$ führt zumindest dann zu einer maximalen Periodenlänge $\lambda (m)$ unter den multiplikativen Kongruenzgeneratoren mit demselben Modul $m$, wenn

1. $y_{0}$ zu $m$ teilerfremd ist, d. h. $\mathrm {ggT} (y_{0},m)=1$, und
2. $a$ »primitives Element« modulo $m$ ist.

(Dabei sei eine Zahl $a$ als primitives Element modulo $m$ bezeichnet, wenn der kleinste positive Exponent $e$, für den $a^{e}\equiv 1{\pmod {m}}$ gilt, maximal ist. Ist darüber hinaus die prime Restklassengruppe $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ zyklisch, dann gibt es Primitivwurzeln modulo $m$, und ein »primitives Element« ist eine Primitivwurzel.)
Die Funktion $\lambda (m)$ wird Carmichael-Funktion genannt. Formeln zu ihrer Berechnung und weitere Eigenschaften finden sich im dortigen Artikel.

Beispiele

• Zum Modul $m=10$ sind demnach 1, 3, 7 und 9 geeignete Startwerte $y_{0}$, während 3 und 7 geeignete Faktoren $a$ sind. In der Tat liefert etwa $a=3$, $y_{0}=9$ die Folge $9,7,1,3,9,7,1,3,\ldots$ mit der Periodenlänge vier – mehr ist im Fall $m=10$ nicht möglich.
• Zu $m=64$ sind etwa $a=5$ und $y_{0}=11$ geeignete Werte. Die erzeugte Folge $11,55,19,31,27,7,35,47,43,23,51,63,59,39,3,15,11,\ldots$ hat Periodenlänge 16 und erweckt bereits einen »leichten Eindruck von scheinbar zufälliger Unregelmäßigkeit«.

Bemerkungen

• Die im Satz genannten Kriterien sind hinreichend; das zweite ist auch notwendig, nicht jedoch das erste. Beispielsweise liefert die Wahl $m=10$, $a=3$, $y_{0}=2$ die Folge $2,6,8,4,2,6,8,4,\ldots$ der Periodenlänge vier, obwohl $y_{0}$ nicht teilerfremd zu $m$ ist.
• In der computertechnischen Anwendung ist $m$ meist eine nicht zu kleine Zweierpotenz; dann ist $a$ primitiv genau dann, wenn $a\equiv 3{\pmod {8}}$ oder $a\equiv 5{\pmod {8}}$ gilt. Und es gilt für alle Potenzen mit geradem Exponenten $a^{e}\equiv 1{\pmod {8}}$.

Literatur

• Robert Daniel Carmichael. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Nr. 16, 1910, S. 232–238.
• Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Bd. 2. Addison-Wesley, Reading, Mass. (USA) 1969, ISBN 0-201-03822-6.