Satz von Denjoy

In der Mathematik ist der Satz von Denjoy ein grundlegendes Resultat aus der Theorie der dynamischen Systeme. Es besagt, dass zweimal stetig differenzierbare Selbstabbildungen des Kreises keine Cantor-Menge invariant lassen können, und weiterhin dass zweimal stetig differenzierbare Selbstabbildungen des Kreises mit irrationaler Rotationszahl stets zu einer Drehung topologisch konjugiert sind. Beide Resultate sind falsch für nur einmal stetig differenzierbare Selbstabbildungen.

Invariante Mengen

Für einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus $f\colon S^{1}\to S^{1}$ ist jede minimale nicht-leere abgeschlossene invariante Teilmenge von $S^{1}$ entweder

• eine endliche Menge, oder
• ganz $S^{1}$, oder
• eine Cantor-Menge.

Das folgende Beispiel zeigt, dass der dritte Fall für $C^{1}$-Diffeomorphismen tatsächlich möglich ist. Der Satz von Denjoy besagt jedoch, dass der dritte Fall für $C^{2}$-Diffeomorphismen nicht eintreten kann. Insbesondere sind im Fall irrationaler Rotationszahl dann alle Orbiten dicht in $S^{1}$.

Denjoy's Beispiel

Es gibt einen orientierungserhaltenden $C^{1}$-Diffeomorphismus $f\colon S^{1}\to S^{1}$, der keine periodischen Punkte hat, aber eine Cantor-Menge invariant lässt.

Zu jeder irrationalen Zahl $\alpha$ kann man einen solchen Denjoy-Diffeomorphismus konstruieren, der zur Drehung $R_{\alpha }$ semi-konjugiert ist.

Die Idee ist grob wie folgt. Man nehme den Orbit $R_{\alpha }^{n}(z_{0})$ einer irrationalen Drehung, dies ist eine abzählbare dichte Menge $A\subset S^{1}$. Man schneide $S^{1}$ in den Punkten von $A$ auf. Für jedes $R_{\alpha }^{n}(z_{0})\in A$ fülle man ein Intervall $I_{n}$ ein, dabei soll die Summe der Intervallängen endlich sein damit der so konstruierte Raum wieder homöomorph zum Kreis ist. Man konstruiert eine stetige monotone Abbildung, die außerhalb der eingefügten Intervalle die Drehung $R_{\alpha }$ ist und $I_{n}$ stetig und streng monoton auf $I_{n+1}$ abbildet. Man erhält einen Homöomorphismus (eines zu $S^{1}$ homöomorphen Raumes), der keine periodischen Punkte hat, eine Cantor-Menge invariant lässt und zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist. Man kann ihn so modifizieren, dass er $C^{1}$ wird.

Der Abbildungstorus der Einschränkung dieser Abbildung auf die invariante Cantor-Menge wird als Denjoy-Solenoid bezeichnet.

Satz von Denjoy

Wenn $f\colon S^{1}\to S^{1}$ ein orientierungserhaltender $C^{2}$-Diffeomorphismus ist, dann ist jede minimale nicht-leere abgeschlossene invariante Teilmenge von $S^{1}$ entweder eine endliche Menge, oder ganz $S^{1}$.

Man erhält als Folgerung aus dem Satz von Denjoy, dass jeder orientierungserhaltende $C^{2}$-Diffeomorphismus mit irrationaler Rotationszahl zu einer Drehung topologisch konjugiert ist. (Auch dieser Satz wird als Satz von Denjoy bezeichnet. Mit diesem Satz widerlegte Arnaud Denjoy eine Vermutung von Henri Poincaré.)

Im Allgemeinen ist die konjugierende Abbildung nur stetig. Unter gewissen arithmetischen Voraussetzungen an die Rotationszahl erhält man aber eine differenzierbare Konjugationsabbildung.

Blätterungen

Suspension einer Abbildung $S^{1}\to S^{1}$ gibt eine Blätterung auf dem 2-dimensionalen Torus. Denjoy's Beispiel zeigt, dass eine $C^{1}$-Blätterung eine exzeptionelle Minimalmenge haben kann und aus dem Satz von Denjoy folgt, dass eine $C^{2}$-Blätterung einer Fläche keine exzeptionellen Minimalmengen besitzt.

Es gibt hingegen Beispiele von $C^{\infty }$-Blätterungen der Kodimension 1 auf höher-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, die eine exzeptionelle Minimalmenge haben. Die höher-dimensionale Verallgemeinerung des Satzes von Denjoy ist stattdessen der Satz von Sacksteder: eine exzeptionelle Minimalmenge einer $C^{2}$-Blätterung der Kodimension 1 auf einer kompakten Mannigfaltigkeit enthält immer ein Blatt mit nichttrivialer linearisierter Holonomie.

Literatur

• Arnaud Denjoy: Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, J. Math. Pures Appl. (9) 11 (1932), 333–375. online (PDF; 2,5 MB)
• V. V. Nemyckiĭ, V. V, Stepanov: Kačestvennaya Teoriya Differencialʹnyh Uravneniĭ. (russisch), OGIZ, Moskau-Leningrad (1947).
• Harold Rosenberg: Un contre-exemple à la conjecture de Seifert (d'après P. Schweitzer). Séminaire Bourbaki, 25ème année (1972/1973), Exp. No. 434, pp. 294–306. Lecture Notes in Math., Vol. 383, Springer, Berlin, 1974. online (pdf)
• Gilbert Hector, Ulrich Hirsch: Introduction to the geometry of foliations. Part A. Foliations on compact surfaces, fundamentals for arbitrary codimension, and holonomy. Second edition. Aspects of Mathematics, 1. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1986. ISBN 3-528-18501-5
• Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. I. Graduate Studies in Mathematics, 23. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-0809-5

Weblinks

• John Milnor: Introductory Dynamics Lecture, Kapitel 15: Denjoy's Theorem (PDF; 125 kB)