Satz von Gelfand-Mazur

Der Satz von Gelfand-Mazur (nach Israel Gelfand und Stanisław Mazur) ist einer der Ausgangspunkte der Theorie der Banachalgebren. Er besagt, dass $\mathbb {C}$ die einzige $\mathbb {C}$-Banachalgebra ist, die ein Schiefkörper ist.

Lemma über das Spektrum

Sei $A$ eine $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement $1$. Dann gibt es zu jedem $a\in A$ ein $\lambda \in {\mathbb {C} }$, so dass $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist.

Man nennt die Menge aller $\lambda \in {\mathbb {C} }$, für die $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist, auch das Spektrum von $a$. Damit lässt sich diese Aussage prägnanter so formulieren, dass das Spektrum eines Elementes einer $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement nicht leer ist.

Beweis

Der Beweis besteht aus einem Zusammenspiel von Funktionalanalysis (Satz von Hahn-Banach) und Funktionentheorie (Satz von Liouville):

Wir nehmen an, $a-\lambda 1$ sei für jedes $\lambda \in {\mathbb {C} }$ invertierbar. Dann gilt für voneinander verschiedene $\lambda ,\mu \in {\mathbb {C} }$

$(a-\lambda 1)^{-1}(\lambda -\mu )(a-\mu 1)^{-1}=(a-\lambda 1)^{-1}((a-\mu 1)-(a-\lambda 1))(a-\mu 1)^{-1}=(a-\lambda 1)^{-1}-(a-\mu 1)^{-1}$

Man wende nun ein beliebiges $f\in A'$ an und teile obige Gleichung durch $\lambda -\mu$. Es folgt

${\frac {f((a-\lambda 1)^{-1})-f((a-\mu 1)^{-1})}{\lambda -\mu }}=f((a-\lambda 1)^{-1}(a-\mu 1)^{-1})$.

Die rechte Seite existiert aus Stetigkeitsgründen für $\mu \rightarrow \lambda$, denn die algebraischen Operationen inklusive Inversion in $A$ sind stetig und $f$ ist stetig. Daher ist die Funktion $\lambda \mapsto f((a-\lambda 1)^{-1})$ holomorph auf ganz $\mathbb {C}$. Sie verschwindet im Unendlichen, denn $\lim _{|\lambda |\rightarrow \infty }\|(a-\lambda 1)^{-1}\|=0$ und $f$ ist stetig. Daher ist diese Funktion beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant, sie muss also auf ganz $\mathbb {C}$ gleich $0$ sein. Da $f\in A'$ beliebig war, folgt aus dem Satz von Hahn-Banach, dass $(a-\lambda 1)^{-1}=0$, aber das kann für ein invertierbares Element nicht sein. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

Satz von Gelfand-Mazur

Ist die $\mathbb {C}$-Banachalgebra $A$ ein Schiefkörper, so ist $A\cong {\mathbb {C} }$.

Ist nämlich $a\in A$, so gibt es nach obigem Lemma ein $\lambda \in {\mathbb {C} }$, so dass $a-\lambda 1$ nicht invertierbar ist. Da $0$ das einzige nicht-invertierbare Element in einem Schiefkörper ist, muss $a=\lambda 1$ sein. Also ist jedes Element von $A$ ein ${\mathbb {C} }$-Vielfaches der Eins, und es folgt die Behauptung.

Folgerungen

Aus dem obigen Lemma folgt unmittelbar der Fundamentalsatz der Algebra (im Spezialfall $A=\mathbb {C} ^{n\times n}$ besagt der Satz schließlich genau, dass jede Matrix einen Eigenwert hat) und erscheint als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand-Mazur.

Aus dem Satz von Gelfand-Mazur folgt trivialerweise der Vollständigkeitssatz von Ostrowski über archimedisch bewertete Körpererweiterungen von $\mathbb {C}$, da Absolutbeträge von Körpern zugleich Normen von Schiefkörpern sind.

Siehe auch

• Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper
• Fundamentalsatz der Algebra
• Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

Quellen

• R. V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg (1992)