Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik, der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren (und damit auch von Statistiken) liefert. Damit ist der Satz von Halmos-Savage ein Hilfsmittel, um zu überprüfen, ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermöglichen. Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich das leichter zu handhabende Neyman-Kriterium für Suffizienz ableiten. Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien für die Existenz von minimalsuffizienten σ-Algebren ableiten.

Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J. Savage bewiesen.

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})$ mit einer dominierten Verteilungsklasse ${\mathcal {P}}$.

Für eine beliebige Verteilungsklasse ${\mathcal {P}}$ sei ${\mathcal {N}}_{\mathcal {P}}$ die Menge aller ${\mathcal {P}}$-Nullmengen. Für eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes $P^{*}$, so dass ${\mathcal {N}}_{\mathcal {P}}={\mathcal {N}}_{P^{*}}$ und $P^{*}$ eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus ${\mathcal {P}}$ ist. Es gilt also

$P^{*}=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}P_{i}{\text{ mit }}\alpha _{i}>0{\text{ und }}\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1$.

Aussage

Sei ${\mathcal {P}}$ eine dominierte Verteilungsklasse und $P^{*}$ wie oben angegeben. Dann ist eine Unter-σ-Algebra ${\mathcal {S}}$ von ${\mathcal {A}}$ genau dann suffizient, wenn für alle $P\in {\mathcal {P}}$ eine Funktion $f_{P}\in {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {S}})$ existiert, so dass $f_{P}$ $P^{*}$-fast sicher die Radon-Nikodým-Ableitung von $P$ bezüglich $P^{*}$ ist, also

$f_{P}={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} P^{*}}}\quad P^{*}{\text{-fast sicher}}$.

Beispiel

Seien ${\mathcal {S}}_{1}\subset {\mathcal {S}}_{2}\subset {\mathcal {A}}$ σ-Algebren und sei ${\mathcal {S}}_{1}$ suffizient. Außerdem sei ${\mathcal {P}}$ eine dominierte Verteilungsklasse. Dann existiert nach dem Satz von Halmos-Savage ein $f_{P}$, so dass $f_{P}\in {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {S}}_{1})$ und

$f_{P}={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} P^{*}}}\quad P^{*}{\text{-fast sicher}}$.

Da aber $L(X,{\mathcal {S}}_{1})\subset L(X,{\mathcal {S}}_{2})$ ist, gilt $f_{P}\in L(X,{\mathcal {S}}_{2})$. Da $f_{P}$ immer noch die Dichten-Eigenschaft erfüllt, ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch ${\mathcal {S}}_{2}$ suffizient.

Man beachte, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.