Satz von Hardy und Ramanujan

Der Satz von Hardy und Ramanujan aus der Zahlentheorie besagt, dass die Anzahl verschiedener Primfaktoren $\omega (n)$ einer ganzen Zahl $n$ die normale Größenordnung $\log(\log(n))$ hat. Der Satz wurde 1917 von Godfrey Harold Hardy und S. Ramanujan bewiesen.

Eine arithmetische Funktion $f(n)$ hat die normale Größenordnung $g(n)$, wenn für jedes $\varepsilon >0$ gilt

$(1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)$

für fast alle n, das heißt, der Anteil der $n<x$, für die die Ungleichung nicht gilt, geht für $x\to \infty$ gegen null.

Genauer gilt:

Die Anzahl der $n\leq x$, für die

$|\omega (n)-\log(\log(n))|>{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\delta }$

gilt, ist für jedes $\delta >0$ von der Ordnung $o(x)$ (mit den Landau-Symbolen, das heißt der Anteil der $n\leq x$, für die die Ungleichung gilt, verschwindet asymptotisch für $x\to \infty$).

Der Beweis findet sich im Zahlentheorie-Lehrbuch von Hardy und Wright. Einen vereinfachten Beweis gab Pál Turán 1934. Turán erweiterte den Satz auf weitere stark additive, arithmetische Funktionen.

Hubert Delange bewies 1953, dass $\omega (n)$ im Wesentlichen eine gaußsche Normalverteilung besitzt, was auch Gegenstand des Satzes von Erdős-Kac ist.

Der Satz gilt auch für die Funktion $\Omega (n)$, bei der die Primfaktoren mit ihrer Multiplizität summiert werden, d. h. $\Omega (n)$ ist die Anzahl der Faktoren der Primfaktorzerlegung von $n$.