Satz von Kato-Rellich

Der Satz von Kato-Rellich ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Funktionalanalysis. Benannt wurde er nach dem japanischen Mathematiker Tosio Kato und dem deutschen Mathematiker Franz Rellich.

Notation und Terminologie

Im Folgenden bezeichne $H$ einen komplexen Hilbertraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ und zugehöriger Norm $\Vert \cdot \Vert :={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}$.

• Ein dicht definierter, linearer Operator ist eine lineare Abbildung $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$, wobei ${\mathcal {D}}(A)\subset H$ einen dichten Untervektorraum von $H$ bezeichne. Derartige Operatoren können beschränkt oder unbeschränkt sein, darüber wird hier keine Annahme getroffen.
• Man bezeichnet einen dicht definierten, linearen Operator $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ als symmetrisch, falls $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ für alle $x,\,y\in {\mathcal {D}}(A)$ gilt.
• Zu einem dicht definierten, linearen Operator $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ lässt sich der adjungierte Operator wie folgt definieren: Man definiert den Raum ${\mathcal {D}}(A^{\ast })\subset H$ als die Menge aller $x\in {\mathcal {D}}(A)$, für die gilt, dass das lineare Funktional $L_{x}:{\mathcal {D}}(A)\to H$, welches durch $L_{x}(y):=\langle x,Ay\rangle$ für $y\in {\mathcal {D}}(A)$ definiert ist, stetig ist. Da der Definitionsbereich ${\mathcal {D}}(A)$ dicht definiert ist, besitzt dieses Funktional eine eindeutig bestimmte Fortsetzung auf $H$. Daher existiert nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz ein eindeutig bestimmtes Element $z\in H$ mit der Eigenschaft $L_{x}(y)=\langle z,y\rangle$. Man setzt nun $A^{\ast }x:=z$ und erhält dadurch einen Operator $A^{\ast }:{\mathcal {D}}(A^{\ast })\to H$ mit der Eigenschaft $\langle A^{\ast }x,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ für alle $x\in {\mathcal {D}}(A^{\ast })$ und alle $y\in {\mathcal {D}}(A)$.
• Man nennt einen dicht definierten, linearen $A:{\mathcal {D}}(A)\to H$ selbstadjungiert, falls ${\mathcal {D}}(A^{\ast })={\mathcal {D}}(A)$ und $A$ symmetrisch ist.

Formulierung des Satzes

Um den Satz zu formulieren, wird der Begriff eines relativ beschränkten Operators benötigt:

Seien $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ und $B\colon {\mathcal {D}}(B)\to H$ zwei dicht definierte, lineare Operatoren. Man bezeichnet $B$ als relativ beschränkt bezüglich $A$ oder kurz $A$-beschränkt, falls ${\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)$ gilt und zwei positive reelle Zahlen $a$ und $b$ existieren, so dass die folgende Ungleichung für alle $x\in {\mathcal {D}}(A)$ erfüllt ist:

$\Vert Bx\Vert \leq a\Vert Ax\Vert +b\Vert x\Vert$

Das Infimum aller Zahlen $a$, für die ein $b$ existiert, sodass die obige Ungleichung für alle $x\in {\mathcal {D}}(A)$ erfüllt ist, wird als relative Schranke von $B$ bezüglich $A$ bezeichnet.

Satz (von Kato-Rellich):

Es sei $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ ein selbstadjungierter Operator und $B\colon {\mathcal {D}}(B)\to H$ ein symmetrischer Operator. Ist der Operator $B$ relativ beschränkt bezüglich $A$ mit einer relativen Schranke $<1$, dann ist der Operator $A+B\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ selbstadjungiert.

Beweis des Satzes

Der Operator $A+B\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ ist offensichtlich wohldefiniert, da ${\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)$. Des Weiteren ist er nach Voraussetzung symmetrisch. Ein symmetrischer Operator $T\colon {\mathcal {D}}(T)\to H$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn ein $\mu >0$ existiert, sodass $\mathrm {Bild} (T\pm i\mu )=H$, wobei $\mathrm {Bild} (T)$ das Bild von $T$ bezeichnet. Daher reicht es zu zeigen, dass ein $\mu >0$ existiert, sodass $\mathrm {Bild} (A+B\pm i\mu )=H$ gilt.

Sei $\mu \in \mathbb {R}$. Die Beweisidee des Satzes von Kato-Rellich ist nun, den Operator $A+B+i\mu$ als $A+B+i\mu =(1+B(A+i\mu )^{-1})(A+i\mu )$ zu schreiben. Das ist möglich, da nach Voraussetzung $A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H$ selbstadjungiert ist und daher $(A+i\mu )^{-1}$ existiert. Da weiters $\mathrm {Bild} (A+i\mu )=H$, genügt es zu zeigen, dass $(1+B(A+i\mu )^{-1})$ einen beschränkten inversen Operator hat.

Nach Voraussetzung gilt für alle $x\in H$ die Ungleichung

$\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq a\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert +b\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert$.

Des Weiteren gilt für alle $y\in {\mathcal {D}}(A)$ die Gleichheit $\Vert (A+i\mu )y\Vert ^{2}=\Vert Ay\Vert ^{2}+\mu ^{2}\Vert y\Vert ^{2}$ und daher mit $y=(A+i\mu )^{-1}x$

$\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq \Vert x\Vert$

und

$\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\frac {1}{\vert \mu \vert }}\Vert x\Vert$.

Kombiniert man die soeben genannten Ungleichungen, findet man, dass für alle $x\in H$ die Abschätzung

$\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\bigg (}a+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}\Vert x\Vert$.

gilt. Da $a<1$, ist es möglich, $\mu$ groß genug zu wählen, sodass ${\bigg (}a+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}<1$ gilt, womit die Ungleichung

$\Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert <1$

für alle $x\in H$ gezeigt ist. Es folgt, dass $(1+B(A+i\mu )^{-1})$ invertierbar ist mit einem beschränkten inversen Operator (siehe Neumann-Reihe). Damit ist $\mathrm {Bild} (A+B+i\mu )=H$ gezeigt.

Anwendungen

Anwendung findet der Satz von Kato-Rellich zum Beispiel in der Quantenmechanik:

Sei $V=V_{1}+V_{2}$ mit $V_{1}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ und $V_{2}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})$. Dann lässt sich mithilfe des Satzes von Kato-Rellich zeigen, dass der Hamiltonoperator $H:=-\Delta +V$ mit dem Laplace-Operator $\Delta$ selbstadjungiert ist, wenn man als Definitionsbereich den Sobolev-Raum $H^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ wählt.

Literatur

• Leon Armenovich Takhtadzhi͡an: Quantum Mechanics for Mathematicians (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 95). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2008. 
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. (= Graduate Studies in Mathematics. Volume 99). American Mathematical Soc., Providence, Rhode Island 2009.