Satz von Kegel-Wielandt

In der Mathematik ist der Satz von Kegel-Wielandt ein Lehrsatz aus der Gruppentheorie.

Aussage

Wenn eine endliche Gruppe $G$ das Produkt $G=AB$ zweier nilpotenter Untergruppen ist, dann ist sie auflösbar.

Geschichte

Philip Hall bewies 1937, dass auflösbare endliche Gruppen ein Produkt von Sylow-Untergruppen sind. Insbesondere enthält eine auflösbare Gruppe $G$ nilpotente Untergruppen $G_{1},\ldots ,G_{k}$ mit $G_{i}G_{j}=G_{j}G_{i}$ für alle $i,j$ und $G=G_{1}\ldots G_{k}$. Die Umkehrung, also dass eine endliche Gruppe unter diesen Annahmen auflösbar ist, wurde 1951 von Helmut Wielandt vermutet. Er zeigte, dass für paarweise vertauschbare nilpotente Gruppen $G_{1},\ldots ,G_{k}$ das Produkt $G_{1}\ldots G_{k}$ auflösbar ist, wenn die Produkte $G_{i}G_{j}$ von je zweien unter ihnen auflösbar sind. Die Umkehrung des von Hall bewiesenen Satzes reduzierte sich damit auf die Frage, ob das Produkt $G=AB$ zweier vertauschbarer nilpotenter Gruppen auflösbar ist.

Wielandt bewies diese Vermutung zunächst 1958 für den Fall, dass die Ordnungen von $A$ und $B$ teilerfremd sind. Das allgemeine Problem wurde darauf aufbauend 1961 von Otto Kegel gelöst.

Der Satz von Kegel-Wielandt verallgemeinert den Satz von Burnside, demzufolge endliche Gruppen der Ordnung $p^{a}q^{b}$ (mit Primzahlen $p,q$) auflösbar sind: solche Gruppen sind das Produkt zweier Sylow-Untergruppen, die beide nilpotent sind.

Die entsprechende Frage für unendliche Gruppen ist offen.