Satz von Komlós

Der Satz von Komlós ist ein Theorem aus der Stochastik und der Analysis über die Cesàro-Konvergenz einer Teilfolge von Zufallsvariablen (resp. Funktionen) sowie ihrer Teilfolgen zu einer integrierbaren Zufallsvariable (resp. Funktion).

Der Satz wurde 1967 von dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker János Komlós bewiesen. 1970 bewies Srishti D. Chatterji eine Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume.

Satz von Komlós

Probabilistische Variante

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ eine darauf existierende Folge von reellwertigen Zufallsvariablen mit $\sup \limits _{n}\mathbb {E} [|\xi _{n}|]<\infty .$

Dann existierten eine Zufallsvariable $\psi \in L^{1}(P)$ und eine Teilfolge $(\eta _{k})=(\xi _{n_{k}})$, so dass für jede beliebige Teilfolge $({\tilde {\eta }}_{n})=(\eta _{k_{n}})$ gilt, wenn $n\to \infty$, dann

${\frac {({\tilde {\eta }}_{1}+\cdots +{\tilde {\eta }}_{n})}{n}}\to \psi$

$P$-fast sicher.

Analytische Variante

Sei $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ ein endlicher Maßraum und $f_{1},f_{2},\dots$ eine reelle Folge in $L^{1}(\mu )$ mit $\sup \limits _{n}\int _{E}|f_{n}|\mathrm {d} \mu <\infty$. Dann existierten eine Funktion $\upsilon \in L^{1}(\mu )$ und eine Teilfolge $(g_{k})=(f_{n_{k}})$, so dass für jede beliebige Teilfolge $({\tilde {g}}_{n})=(g_{k_{n}})$ gilt, wenn $n\to \infty$, dann

${\frac {({\tilde {g}}_{1}+\cdots +{\tilde {g}}_{n})}{n}}\to \upsilon$

$\mu$-fast überall.

Erläuterungen

Das Theorem sagt, dass sowohl die Folge $(\eta _{k})$ als auch ihre Teilfolgen im Cesàro-Mittel fast sicher gegen $\psi$ konvergieren.

Verallgemeinerungen

Von Srishti D. Chatterji stammt folgende Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume:

Sei $(S,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und $f_{1},f_{2},\dots$ eine Folge, so dass für alle $f_{i}\in L^{p}(S,{\mathcal {A}},\mu )$ mit $0<p<2$ und

$\sup \limits _{n}\int _{S}|f_{n}|^{p}\mathrm {d} \mu <\infty .$

Dann existieren eine Teilfolge $(g_{k})=(f_{n_{k}})$ und eine Funktion $\varphi \in L^{p}$, so dass für jede beliebige Teilfolge $({\tilde {g}}_{n})=(g_{k_{n}})$ gilt, wenn $n\to \infty$, dann

${\frac {({\tilde {g}}_{1}+\cdots +{\tilde {g}}_{n})}{n^{1/p}}}\to \varphi$

fast überall.

Weiter gilt falls $0<p<1$, dann ist $\varphi \equiv 0$ immer eine mögliche Wahl.

Im Allgemeinen kann die Teilfolge $(g_{k})=(f_{n_{k}})$ nicht so gewählt werden, dass $L^{p}$-Konvergenz gilt. Diese gilt aber, wenn eine Teilfolge $(h_{k})=(f_{n_{k}})$ existiert, so dass $\{|h_{k}|^{p}\}\subset L^{1}$ schwach folgenkompakt ist. Letzteres bedeutet im Falle wenn $\mu$ endlich ist, dass $(h_{k})$ eine gleichmäßig integrierbare Familie ist, d. h.

$\lim \limits _{N\to \infty }\int _{\{|h|>N\}}|h|^{p}\mathrm {d} \mu =0$

gleichmäßig für $h\in (h_{k})$.