Satz von Krein-Šmulian
Der Satz von Krein-Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach-*-Topologie darstellt.
Formulierung des Satzes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist ein Banachraum, so sei die abgeschlossene -Kugel im Dualraum von , wobei sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen auch die Umkehrung gilt:
- Satz von Krein-Šmulian: Seien ein Banachraum und eine konvexe Menge. Wenn für jedes schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch schwach-*-abgeschlossen.
Bemerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn nicht konvex ist. Dazu seien -dimensionale Teilräume mit und sei die Kugelfläche mit Radius in . Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz . Setze .
Dann ist für jedes endlich und daher schwach-*-abgeschlossen. selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von . Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form , wobei und , ein Element aus enthält. Wähle dazu so groß, dass und . Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein mit . Wähle nun ein mit . Dann ist , denn für alle .
Die bw*-Topologie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Man erkläre eine Menge als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt für jedes schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:
- Seien ein Banachraum und eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von überein.
Satz von Banach-Dieudonné
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Seien ein Banachraum und ein Unterraum. ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn schwach-*-abgeschlossen ist.
Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.
Quellen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3540061487