Satz von Krein-Milman

Für eine kompakte konvexe Menge K (hellblau) und die Menge ihrer Extremalpunkte B (rot) gilt, dass K die abgeschlossene konvexe Hülle von B ist.

Der Satz von Krein-Milman (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Aussage

Ist $E$ ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin ${\mathcal {C}}\subset E$ eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt ${\mathcal {C}}$ Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.

Der Beweis des Krein-Milman’schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.

Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird: Ist ${\mathcal {C}}\subset E$ eine kompakte, konvexe Menge und ist $T\subseteq {\mathcal {C}}$ so beschaffen, dass ${\mathcal {C}}$ gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von $T$ ist, so sind im topologischen Abschluss von $T$ alle Extremalpunkte von ${\mathcal {C}}$ enthalten.

Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen, wo mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vorliegen.

Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.

Anwendung

Der Banachraum $c_{0}$ der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }$ ist kein Dualraum.

Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index $m\in \mathbb {N}$ mit $|x_{m}|<{\tfrac {1}{2}}$, denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun $h=(h_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert durch $h_{n}=0$ für $n\neq m$ und $h_{m}={\tfrac {1}{2}}$, so sind $\|x+h\|_{\infty }\leq 1$ und $\|x-h\|_{\infty }\leq 1$ und $x={\tfrac {1}{2}}(x+h)+{\tfrac {1}{2}}(x-h)$, das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt $x$ der Einheitskugel ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von $c_{0}$ keine Extremalpunkte und $c_{0}$ kann daher kein Dualraum sein.

Siehe auch

• Choquet-Theorie
• Krein-Milman-Eigenschaft
• Satz von Russo-Dye

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362–363.
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 147–149 (MR0209926). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 75–77 (MR1157815). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 418 ff.