Satz von Lüroth
Der Satz von Lüroth ist ein Resultat aus der Algebra. Er wurde von Jacob Lüroth im Jahre 1875 publiziert.[1]
Aussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine rein transzendente Erweiterung des Körpers vom Transzendenzgrad 1. Ist ein Zwischenkörper, der von verschieden ist, so ist ebenfalls rein transzendent vom Transzendenzgrad 1. Insbesondere ist isomorph zu .
Ein allgemeingültiger Beweis dazu findet sich in [2].
Andere Formulierungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Äquivalent kann man den Satz von Lüroth auch so formulieren: Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über , also der Quotientenkörper des Polynomrings . Ist ein Zwischenkörper, der von verschieden ist, so ist für ein Element von . Dieses Element ist immer transzendent über , wohingegen immer algebraisch über ist.
Eine weitere äquivalente Formulierung in der Sprache der algebraischen Geometrie besagt, dass unirationale Kurven rational sind.
Lüroth-Problem
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Frage, ob der Satz von Lüroth auch für Körper vom Transzendenzgrad größer als Eins gilt, ist als Lüroth-Problem bekannt. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Ein Überblick über Teilergebnisse und Gegenbeispiele findet sich in dem unten zitierten Buch Basic Algebra II von Nathan Jacobson.[3]
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ J. Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Curven, Math. Ann. 9 (1875), 163–165.
- ↑ "Algebraische Theorie der Körper" (1910) von Ernst Steinitz (Seite 302).
- ↑ N. Jacobson: Basic Algebra II (2nd. ed.), W. H. Freeman, San Francisco, 1989, Sec. 8.14, pp. 520–525