Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)

Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.

Formulierung

Sind $\textstyle A=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und $\textstyle B=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$, wobei $\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}$ ist, gegen $AB$.

Beweis

Ohne Einschränkung sei $A$ die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme $\textstyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$ gegen $AB$ konvergiert.

Im Folgenden sei $\textstyle A_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ und $\textstyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$.

Cauchyprodukt

1. $AB$ lässt sich schreiben als $\textstyle (A-A_{n})B+\sum _{k=0}^{n}a_{k}B$
2. $S_{n}$ lässt sich schreiben als $\textstyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}B_{n-k}$

Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt

$AB-S_{n}=(A-A_{n})B+\sum _{k=0}^{n}a_{k}(B-B_{n-k})$

Dabei konvergiert $(A-A_{n})B$ gegen Null und mit $N:=\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor$ lässt sich letzte Reihe aufspalten zu

$\underbrace {\sum _{k=0}^{N}a_{k}(B-B_{n-k})} _{=P_{n}}+\underbrace {\sum _{k=N+1}^{n}a_{k}(B-B_{n-k})} _{=Q_{n}}\,.$

Es gilt

$|P_{n}|\leq \sum _{k=0}^{N}|a_{k}|\cdot |B-B_{n-k}|\leq \max _{N\leq k\leq n}|B-B_{k}|\,\sum _{k=0}^{N}|a_{k}|\to 0\,,$

denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge $(B-B_{k})$ beschränkt sein muss, gibt es ein $C>0$ mit $|B-B_{k}|<C\quad \forall k\in \mathbb {N}$. Daher ist

$|Q_{n}|\leq \sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}|\cdot |B-B_{n-k}|\leq C\sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}|\to 0$

nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt $AB-S_{n}\to 0$, woraus unmittelbar $S_{n}\to AB$ folgt.

Das Cauchy-Produkt unter bedingter Konvergenz

Sind beide Ausgangsreihen nur bedingt konvergent, dann muss das Cauchy-Produkt nicht konvergieren, wie das Beispiel zeigt: Das Cauchy-Produkt der Reihen $A,B$ mit $a_{k}=b_{k}={\tfrac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}$ konvergiert nicht, siehe Cauchy-Produktformel#Eine divergente Reihe.

Hardy zeigte allerdings, dass das Cauchy-Produkt auch für zwei nur bedingt konvergente Reihen konvergiert, wenn die Folgen $a_{k}\cdot k$ und $b_{k}\cdot k$ beschränkt sind. Für die bekanntermaßen nicht absolut konvergenten Ausgangsreihen

$A=B=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{2n+1}}$

mit Wert ${\tfrac {\pi }{4}}$ ist das Cauchy-Produkt also konvergent mit Wert ${\tfrac {\pi ^{2}}{16}}$.