Satz von Motzkin-Taussky

Der Satz von Motzkin-Taussky ist ein Resultat aus der Operator- und Matrizentheorie über die Darstellung einer Summe zweier beschränkter, linearer Operatoren (resp. Matrizen). Der Satz wurde von Theodore Motzkin und Olga Taussky-Todd bewiesen.

Das Theorem findet Anwendung in der Störungstheorie, wo man u. a. Operatoren der Form

$T+xT_{1}$

untersucht.

Aussage

Sei $X$ ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum. Weiter seien $A,B\in B(X)$ so, dass alle Linearkombinationen

$T=\alpha A+\beta B$

diagonalisierbar sind für alle $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$. Dann sind alle Eigenwerte von $T$ von der Form

$\lambda _{T}=\alpha \lambda _{A}+\beta \lambda _{B}$

(d. h. sie sind linear in $\alpha$ und $\beta$) und $\lambda _{A},\lambda _{B}$ sind unabhängig von der Wahl der $\alpha ,\beta$.

Hier steht $\lambda _{A}$ für einen Eigenwert von $A$, analog $\lambda _{B}$ für einen Eigenwert von $B$.

Erläuterungen

• Bei Motzkin und Taussky heißt die obige Eigenschaft der Linearität der Eigenwerte in $\alpha ,\beta$ L-Eigenschaft.

Literatur

• Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 1995, ISBN 978-3-540-58661-6, S. 86, doi:10.1007/978-3-642-66282-9. 
• Shmuel Friedland: A generalization of the Motzkin-Taussky theorem. In: Linear Algebra and its Applications. Band 36, 1981, S. 103–109, doi:10.1016/0024-3795(81)90223-8.