Der Satz von Schilder ist ein Theorem aus der Theorie der großen Abweichungen (englisch Large Deviation Theory ). Das Theorem besagt, dass eine klein-skalierte Brownsche Bewegung das Prinzip der großen Abweichungen erfüllt und somit wesentlich von
0
{\displaystyle 0}
[ 1]
Eine Verallgemeinerung des Satzes ist der Satz von Freidlin-Wentzell.
Sei
B
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle B_{t\in [0,1]}}
Brownsche Bewegung auf
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
C
0
:=
C
0
(
[
0
,
1
]
,
R
d
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}:={\mathcal {C}}_{0}([0,1],\mathbb {R} ^{d})}
f
:
[
0
,
1
]
→
R
d
{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d}}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
(
μ
ε
)
{\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}
B
ε
(
t
)
:=
ε
B
t
{\displaystyle B_{\varepsilon }(t):={\sqrt {\varepsilon }}B_{t}}
C
0
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}
Mit
H
1
{\displaystyle H_{1}}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
H
1
:=
{
f
:
[
0
,
1
]
→
R
d
,
f
(
0
)
=
0
,
f
˙
∈
L
2
(
[
0
,
1
]
)
}
{\displaystyle H_{1}:=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d},f(0)=0,{\dot {f}}\in L^{2}([0,1])\}}
Dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsmaße
(
μ
ε
)
{\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}
ε
→
0
{\displaystyle \varepsilon \to 0}
Prinzip der großen Abweichungen mit guter Rate-Funktion
I
B
(
f
)
=
{
1
2
∫
0
1
|
f
˙
(
t
)
|
2
d
t
f
∈
H
1
∞
f
∉
H
1
{\displaystyle I_{B}(f)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}|{\dot {f}}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t&f\in H_{1}\\\infty &f\not \in H_{1}\ \end{cases}}}
Das heißt für alle offenen
O
⊆
C
0
(
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle O\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}
C
⊆
C
0
(
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle C\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}
−
inf
f
∈
O
I
B
(
f
)
≤
lim inf
ε
→
0
ε
log
μ
ε
(
O
)
≤
lim sup
ε
→
0
ε
log
μ
ε
(
C
)
≤
−
inf
f
∈
C
I
B
(
f
)
{\displaystyle -\inf _{f\in O}I_{B}(f)\leq \liminf _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(O)\leq \limsup _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf _{f\in C}I_{B}(f)}
↑ P. Imkeller, C. Hein: Large deviations and stochastic resonance. abgerufen am 18. März 2021 . 
![{\displaystyle B_{t\in [0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed9bf4adbd0e95576af87aa957f68591abd14fb)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}:={\mathcal {C}}_{0}([0,1],\mathbb {R} ^{d})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2501524be07476e9c9dcb255409be7bb1cbc607)
![{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26e29009bb00de92a8068105ed63241898948461)
![{\displaystyle H_{1}:=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d},f(0)=0,{\dot {f}}\in L^{2}([0,1])\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42062097e99edacd294aaffbf5a2f20034bd4665)
![{\displaystyle O\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5d49c1e26eb2b2f69a7b2fd03319f5185ea982)
![{\displaystyle C\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a3273645d9fcf5f50a3a5c7c6f3f10e58cf9fb)
