Satz von Synge
Der Satz von Synge ist ein nach John Lighton Synge benannter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass jede gerade-dimensionale, orientierbare Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss.
Satz von Synge
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Für jede orientierbare Mannigfaltigkeit gerader Dimension , die eine Riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung für eine Konstante trägt, gilt für die Fundamentalgruppe
- .
- Für jede nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit gerader Dimension, die eine Riemannsche Metrik positiver Schnittkrümmung für eine Konstante trägt, ist
- .
Die Bedingung, dass für eine Konstante gilt, ist insbesondere immer dann erfüllt, wenn kompakt und die Schnittkrümmung ist.
Lemma von Synge
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Beweis des Satzes von Synge folgt aus dem Lemma von Synge. Dieses besagt folgendes:
Sei eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension mit positiver Schnittkrümmung . Sei eine glatte geschlossene Geodätische der Länge . Dann gibt es eine Variation von , so dass alle Nachbarkurven glatt, geschlossen und kürzer als sind.
Gruppentheoretische Formulierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Satz von Synge ist äquivalent zum Satz von Synge-Weinstein.
Ungerade Dimensionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für Mannigfaltigkeiten ungerader Dimensionen gilt der Satz von Synge nicht. Zwar hat nach dem Satz von Bonnet-Myers jede positiv gekrümmte Mannigfaltigkeit eine endliche Fundamentalgruppe, jedoch gibt es ungerade-dimensionale, positiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten mit beliebiger zyklischer Fundamentalgruppe (Linsenräume) oder beispielsweise die Poincaré-Homologiesphäre mit einer komplizierteren Fundamentalgruppe der Ordnung 120.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Dirk Ferus: Geometrie (Kapitel 15)
- Dorothee Schüth, Alessandro Masacci: Riemannsche Geometrie (Kapitel 15)