Satz von Wallace
Der Satz von Wallace ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher auf den amerikanischen Mathematiker Alexander Doniphan Wallace (1905–1985)[1] zurückgeht.[2][3][4] Er behandelt eine spezielle Trennungseigenschaft kompakter Produktunterräume in Produkttopologien: Ein Produkt kompakter Mengen in einer offenen Menge liegt in einem darin enthaltenen Produkt offener Mengen.
Formulierung des Satzes
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben seien zwei topologische Räume und und darin eingelagert zwei kompakte Unterräume und . Sei ferner eine offene Obermenge von in .
Dann existieren offene Teilmengen und mit .
Korollar
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.[5]
Sind nämlich und abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des kompakten Hausdorffraums , so ist . Da ein Hausdorffraum ist, ist die Diagonale abgeschlossen, also ist offen. Wendet man nun obigen Satz von Wallace an, so erhält man zwei offene Mengen und mit , d. h. . Damit ist normal.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6.
- Anthony Connors Shershin: Introduction to topological semigroups. University Presses of Florida, Miami FL 1979, ISBN 0-8130-0664-3.
- Kapil D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern, New Delhi u. a. 1983, ISBN 0-85226-444-5.