Schätzfehler

In der Statistik bezeichnet der Schätzfehler die Abweichung einer Schätzfunktion ${\hat {\vartheta }}$ vom unbekannten Parameter der Grundgesamtheit $\vartheta$ . Er ist ein Maß für die Güte der Schätzfunktion (oder Interpolation).

Definition

Er ist definiert als:

e:={\hat {\vartheta }}-\vartheta

Ist der wahre Parameter unbekannt, so ist auch der Schätzfehler unbekannt. Trotzdem ist es möglich, eine Aussage über die Präzision des Schätzfehlers zu machen.

Parameter des Schätzfehlers

Der Erwartungswert des Schätzfehlers wird als Verzerrung bezeichnet.
Die Standardabweichung des Schätzfehlers ist gleich dem Standardfehler.

Beispiele

Wenn $\mu$ der Mittelwert in der Grundgesamtheit ist, $\sigma ^{2}$ die Varianz und $\pi$ der Anteilswert in einer dichotomen Grundgesamtheit ist, dann zeigt die folgende Tabelle Schätzfunktionen, Schätzfehler und Verzerrungen. Dabei bezeichnet $N(\mu ,\sigma ^{2})$ die Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ .

Parameter der Grundgesamtheit	Stichprobenvariablen	Schätzfunktion ${\hat {\theta }}$	Schätzfehler $e$	Verzerrung $\operatorname {E} (e)$
$\mu$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$	${\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$	${\bar {X}}-\mu$	$0$
$\mu$	$X_{i}\sim (\mu ,\sigma ^{2})$ und ZGS erfüllt	${\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$	${\bar {X}}-\mu$	$0$
$\pi$	$X_{i}$ dichotom	$\Pi ={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}$	$\Pi -\pi$	$0$
$\sigma ^{2}$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ bekannt	$S^{*2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}$	$S^{*2}-\sigma ^{2}$	$0$
$\sigma ^{2}$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ unbekannt	$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$	$S^{2}-\sigma ^{2}$	$0$
$\sigma ^{2}$	$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und $\mu$ unbekannt	$S^{'2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$	$S^{'2}-\sigma ^{2}$	$-{\frac {\sigma ^{2}}{n}}$