Schamel-Gleichung

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Die Schamel-Gleichung (S-Gleichung) ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit und dritter Ordnung im Raum. Ähnlich einer Korteweg-de-Vries-Gleichung (KdV)[1] beschreibt sie die Entwicklung einer lokalisierten, kohärenten Wellenstruktur, die sich in einem nichtlinearen dispersiven Medium ausbreitet. Sie wurde erstmals 1973 von Hans Schamel[2] abgeleitet, um die Auswirkungen des Einfangens von Elektronen im Trog des Potentials einer solitären elektrostatischen Wellenstruktur zu beschreiben, die sich mit Ionen-Schallgeschwindigkeit in einem Zweikomponentenplasma bewegt. Sie gilt für verschiedene lokale Impulsdynamiken wie:

  • Elektronen- und Ionenlöcher oder Phasenraumwirbel in kollisionsfreien Plasmen wie Raumplasmen[3],
  • achsensymmetrische Impulsausbreitung in physikalisch versteiften nichtlinearen Zylinderschalen[4],
  • Soliton“-Ausbreitung in nichtlinearen Übertragungsleitungen[5],[6] oder in der Faseroptik und Laserphysik[7].

Sie lautet:

.

Hierin stellen im ionenakustischen Fall das elektrische Potential der kohärenten Welle, den Ort und die Zeit in normierten Einheiten dar. Sie besitzt nur eine endliche Zahl von Erhaltungsgrößen[8] und gehört zur Klasse der nicht-integrierbaren Evolutionsgleichungen[9].

Erweiterungen erfuhr sie durch Einbeziehung nicht-thermischer Verteilungen[10], durch Einbettung in inhomogene, magnetisierte oder staubige Plasmen[11] oder durch vertiefte mathematische Untersuchungen ihrer Lösungsmannigfaltigkeit[12][13].

Die logarithmische Schamel-Gleichung

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Ein für die Plasmaphysik wichtiger Aspekt ist die Existenz eines zweiten Teilcheneinfangkanals, der die Anwesenheit eines chaotischen Einteilchenverhaltens in Resonanznähe signalisiert. Ist dieser Prozess nicht-störungstheoretisch, so ergibt sich die sogenannte logarithmische Schamel-Gleichung[14] :

,

mit einem zweiten Teilcheneinfangparameter. Ihre solitäre Wellenlösungen sind im stationären Limes implizit durch die Umkehrfunktion

gegeben mit

,

dem sogenannten Pseudo-Potential. Da das Integral durch mathematisch bekannte Funktionen nicht gelöst werden kann, bleibt die explizite Gestalt von generell unbekannt. Die Phasengeschwindigkeit ist allerdings gegeben und lautet:

.

Explizite Lösungen ergeben sich erst durch Nullsetzen eines der beiden Parameter. Es gilt für :

und für :

,

zwei wohlbekannte solitäre Wellenlösungen.

Die Schamel-Korteweg-de-Vries-Gleichung

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Nahe isothermen Elektronenzuständen gilt für ionenakustische Wellen:

Sie wird Schamel-Korteweg-de-Vries-Gleichung genannt und hat als solitäre Wellenlösung[15] :

mit und .

Für ergibt sich die solitäre Welle der Schamel-Gleichung:

und für die der Korteweg-de-Vries-Gleichung:

.

Einzelnachweise

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  1. D. J. Korteweg, G. de Vries: XLI. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves. In: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Band 39, Nr. 240, 1. Mai 1895, S. 422–443, doi:10.1080/14786449508620739.
  2. Hans Schamel: A modified Korteweg-de Vries equation for ion acoustic wavess due to resonant electrons. In: Journal of Plasma Physics. Band 9, Nr. 3, Juni 1973, S. 377–387, doi:10.1017/S002237780000756X.
  3. Hans Schamel: Electron holes, ion holes and double layers: Electrostatic phase space structures in theory and experiment. In: Physics Reports. Band 140, Nr. 3, 1. Juli 1986, S. 161–191, doi:10.1016/0370-1573(86)90043-8.
  4. A. I. Zemlyanukhin, I. V. Andrianov, A. V. Bochkarev, L. I. Mogilevich: The generalized Schamel equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells. In: Nonlinear Dynamics. Band 98, Nr. 1, 1. Oktober 2019, S. 185–194, doi:10.1007/s11071-019-05181-5.
  5. Farah Aziz, Ali Asif, Fatima Bint-e-Munir: Analytical modeling of electrical solitons in a nonlinear transmission line using Schamel–Korteweg deVries equation. In: Chaos, Solitons & Fractals. Band 134, 1. Mai 2020, S. 109737, doi:10.1016/j.chaos.2020.109737.
  6. Emmanuel Kengne, Ahmed Lakhssassi, WuMing Liu: Nonlinear Schamel–Korteweg deVries equation for a modified Noguchi nonlinear electric transmission network: Analytical circuit modeling. In: Chaos, Solitons & Fractals. Band 140, November 2020, S. 110229, doi:10.1016/j.chaos.2020.110229.
  7. Sarun Phibanchon, Michael A. Allen: Instability of Soliton Solutions to the Schamel-nonlinear Schrödinger Equation. In: International Journal of Physical and Mathematical Sciences. Band 6, Nr. 1, 27. Januar 2012, S. 18–20, doi:10.5281/zenodo.1075701.
  8. Frank Verheest, Willy Hereman: Conservations laws and solitary wave solutions for generalized Schamel equations. In: Physica Scripta. Band 50, Nr. 6, Dezember 1994, S. 611–614, doi:10.1088/0031-8949/50/6/002.
  9. M. W. Coffey: On the integrability of Schamel's modified Korteweg-de Vries dequation. In: Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 24, Nr. 23, Dezember 1991, S. L1345–L1352, doi:10.1088/0305-4470/24/23/005.
  10. G. Williams, F. Verheest, M. A. Hellberg, M. G. M. Anowar, I. Kourakis: A Schamel equation for ion acoustic waves in superthermal plasmas. In: Physics of Plasmas. Band 21, Nr. 9, September 2014, S. 092103, doi:10.1063/1.4894115.
  11. Shaukat Ali Shan, Qamar-ul-Haque: Schamel equation in an inhomogeneous magnetized sheared flow plasma with q-nonextensive trapped electrons. In: Chinese Physics B. Band 27, Nr. 2, Februar 2018, S. 025203, doi:10.1088/1674-1056/27/2/025203.
  12. İ B. Giresunlu, Y. Sağlam Özkan, E. Yaşar: On the exact solutions, Lie symmetry analysis, and conservation laws of Schamel–Korteweg–de Vries equation. In: Mathematical Methods in the Applied Sciences. Band 40, Nr. 11, 2017, S. 3927–3936, doi:10.1002/mma.4274.
  13. D. Daghan, O. Donmez: Analytical Solutions and Parametric Studies of the Schamel Equation for Two Different Ion-Acoustic Waves in Plasmas. In: Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. Band 59, Nr. 3, Mai 2018, S. 389–396, doi:10.1134/S002189441803001X.
  14. Hans Schamel: Two-Parametric, Mathematically Undisclosed Solitary Electron Holes and Their Evolution Equation. In: Plasma. Band 3, Nr. 4, Dezember 2020, S. 166–179, doi:10.3390/plasma3040012.
  15. Hans Schamel: Stationary solitary, snoidal and sinusoidal ion acoustic waves. In: Plasma Physics. Band 14, Oktober 1972, S. 905–924.