Schmidt-Zerlegung

In der linearen Algebra bezeichnet die Schmidt-Zerlegung (die nach Erhard Schmidt benannt ist) eine bestimmte Darstellung eines Vektors im Tensorprodukt von zwei Vektorräumen mit Skalarprodukt als Summe von wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet zum Beispiel in der Quanteninformatik Anwendung.

Aussage

Seien $H_{1}$ und $H_{2}$ Hilberträume der Dimension $n$ beziehungsweise $m$ und sei $n\geq m$. Dann gibt es für jeden Vektor $v\in H_{1}\otimes H_{2}$ Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}$ und $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}$, so dass

$v=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}$

gilt, wobei die nicht-negativen Zahlen $\alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq ...\geq \alpha _{m}\geq 0$ durch $v$ eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}$ und $\{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}$. Der Elementartensor $e_{i}\otimes f_{j}$ kann mit der Matrix $e_{i}f_{j}^{T}$ (hier bezeichnet $f_{j}^{T}$ die Transposition von $f_{j}$) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor $v$ lässt sich in der Basis $e_{i}\otimes f_{j}$ schreiben als

$v=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}$

und kann dann mit der $n\times m$ Matrix

$\;M_{v}=(\beta _{ij})$

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen $U$ auf $H_{1}$ und $V$ auf $H_{2}$ und eine positiv-semidefinite $m\times m$ Diagonalmatrix $\Sigma$ so dass

$M_{v}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{T}.$

Schreibt man $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$, wobei $U_{1}$ eine $n\times m$-Matrix ist, dann erhält man

$\;M_{v}=U_{1}\Sigma V^{T}.$

Bezeichnet man nun die ersten $m$ Spaltenvektoren von $U_{1}$ mit $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}$ und mit $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}$ die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix $\Sigma$ mit $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}$ dann folgt

$M_{v}=U_{1}\Sigma V^{T}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}v_{i}^{T}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}$,

was die Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik

Die Schmidt-Zerlegung findet z. B. in der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände

Betrachte einen Vektor in der Schmidt-Form

$w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.$

Die Matrix $\rho =ww^{*}$ ($w^{*}$ bezeichnet den zu $w$ adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf $H_{1}\otimes H_{2}$. Die partielle Spur von $\rho$ bezüglich entweder dem Teilsystem $H_{1}$ oder $H_{2}$ ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge $|\alpha _{i}|^{2}$ sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren ${\text{tr}}_{1}(\rho )$ und ${\text{tr}}_{2}(\rho )$ gleich ist.

In der Quantenmechanik beschreibt $\rho$ (wie jeder eindimensionale Projektor auf $H_{1}\otimes H_{2}$) den reinen Zustand eines aus zwei Teilen zusammengesetzten Systems und $\rho _{2}:={\text{tr}}_{1}(\rho )$ bzw. $\rho _{1}:={\text{tr}}_{2}(\rho )$ beschreibt den reduzierten Zustand im Teilsystem 2 bzw. 1. Das Spektrum des reduzierten Zustands bestimmt unter anderem dessen Von-Neumann-Entropie sowie verschiedene Verschränkungsmaße des reinen Zustands $\rho$.

Schmidt-Rang und Verschränkung

Für einen Vektor $w\in H_{1}\otimes H_{2}$ werden die strikt positiven Werte $\alpha _{i}>0$ in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet. Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von $w$.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• der Schmidt-Rang von $w$ ist größer als eins
• $w$ lässt sich nicht als Produktvektor $u\otimes v$ schreiben
• $w$ ist verschränkt
• die reduzierten Zustände von $w$ sind nicht rein

Aus den Schmidt-Koeffizienten eines reinen Zustands $w$ lassen sich alle seine Verschränkungseigenschaften bestimmen. Auch das Verhalten von $w$ unter lokalen Quantenoperationen ist durch die Schmidt-Koeffizienten festgelegt, insbesondere, ob sich zwei Zustände lokal ineinander transformieren lassen.

Literatur

• Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433–476 (1907).
• Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.
• Artur Ekert und Peter L. Knight: Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition. In: American Journal of Physics. 63. Jahrgang, Nr. 5, Mai 1995, S. 415, doi:10.1119/1.17904.