Schouten-Nijenhuis-Klammer

Die Schouten-Nijenhuis-Klammer ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Sie bezeichnet ein Typ graduierter Lie-Klammern auf dem Raum der alternierenden Multivektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Der Name wird manchmal auch für eine zweite Definition verwendet, die für symmetrische Multivektorfelder gilt.

Sie sind benannt nach Jan Schouten und Albert Nijenhuis.

Schouten-Nijenhuis-Klammer

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $[\cdot ,\cdot ]$ eine Lie-Klammer. Mit ${\mathfrak {X}}^{k}(M):=\Gamma (\wedge ^{k}TM)$ bezeichnen wir den Raum der Schnitte auf $\wedge ^{k}TM$ (der k-ten äußeren Potenz über dem Tangentialbündel), das heißt der Raum der alternierenden Multivektorfelder.

Die schief-symmetrischen Schouten-Nijenhuis-Klammer

$[\cdot ,\cdot ]_{S}:{\mathfrak {X}}^{k}(M)\otimes {\mathfrak {X}}^{l}(M)\to {\mathfrak {X}}^{k+l-1}(M)$

ist die eindeutige Erweiterung der Lie-Klammer zu einer gradierten Klammer auf ${\mathfrak {X}}^{k}(M)$. Sie werden wie folgt definiert:

${\begin{aligned}{}[X_{1}\wedge &\cdots \wedge X_{k},Y_{1}\wedge \cdots \wedge Y_{l}]_{S}\\&:=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[X_{i},Y_{j}]X_{1}\cdots X_{i-}\cdots X_{k}Y_{1}\cdots Y_{j-}\cdots Y_{l}\\&:=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[X_{i},Y_{j}]\wedge X_{1}\wedge \cdots \wedge X_{i-1}\wedge X_{i+1}\wedge \cdots \wedge X_{k}\wedge Y_{1}\wedge \cdots \wedge Y_{j-1}\wedge Y_{j+1}\wedge \cdots \wedge Y_{l}\end{aligned}}$

Die Notation $X_{i-}$ bedeutet, dass $X_{i}$ fehlt.

Die Schouten-Nijenhuis-Klammern machen die Multivektorfelder zu einer eine Gerstenhaber-Algebra.

Eigenschaften

Für $X\in {\mathfrak {X}}^{k},Y\in {\mathfrak {X}}^{l},Z\in {\mathfrak {X}}^{n}$ gilt:

1. $[X,Y]_{S}=(-1)^{kl}[Y,X]_{S}$
2. $[X,Y\wedge Z]_{S}=[X,Y]_{S}\wedge Z+(-1)^{(k+1)l}Y\wedge [X,Z]_{S}$

Literatur

• Chiara Esposito: Formality Theory: From Poisson Structures to Deformation Quantization (= Springer Briefs in Mathematical Physics. Band 2). Springer, 2014, ISBN 978-3-319-09290-4. 
• J. A. de Azcarraga, A. M. Perelomov, J. C. Perez Bueno: The Schouten-Nijenhuis bracket, cohomology and generalized Poisson structures. In: Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 29, Nr. 24, 1996, arxiv:hep-th/9605067.