Segre-Einbettung

Die Segre-Einbettung ist eine Abbildung, die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann, um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietäten die Struktur einer projektiven Varietät zu geben. Die Segre-Einbettung ist nach Corrado Segre benannt.

Definition

Definition in homogenen Koordinaten

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $\mathbb {P} ^{n}$ der $n$- und $\mathbb {P} ^{m}$ der $m$-dimensionale projektive Raum über $K$ mit homogenen Koordinaten $X_{0},\dotsc ,X_{n}$ und $Y_{0},\dotsc ,Y_{m}$.

Die Segre-Einbettung $\sigma _{n,m}$ von $\mathbb {P} ^{n}$ und $\mathbb {P} ^{m}$ ist definiert als

$\sigma _{n,m}\colon \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1},([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]$,

wobei die $X_{i}Y_{j}$ nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.

Das Bild $\Sigma _{m,n}:=\sigma _{n,m}(\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n})$ wird als Segre-Varietät bezeichnet.

Koordinatenfreie Definition

Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale $K$-Vektorräume $V$ und $W$ und die zugehörigen projektiven Räume $\mathbb {P} (W)$ und $\mathbb {P} (V)$ definiert man die Segre-Einbettung $\sigma _{V,W}$ mit Hilfe des Tensorprodukts $\otimes$ als

$\sigma _{V,W}\colon \mathbb {P} (V)\times \mathbb {P} (W)\to \mathbb {P} (V\otimes W),([v],[w])\mapsto [v\otimes w]$.

Eigenschaften

Die Segre-Einbettung $\sigma _{n,m}$ ist eine wohldefinierte injektive Abbildung, deren Bild $\Sigma _{n,m}\subseteq \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}$ eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge ist.

Somit ist die Segre-Varietät $\Sigma _{n,m}$ tatsächlich eine projektive Varietät. Das dazugehörige homogene Ideal $\mathbb {I} (\Sigma _{n,m})$ lässt sich explizit angeben. Bezeichnen wir die homogenen Koordinaten auf $\mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}$ mit $Z_{0,0},\dotsc ,Z_{n,m}$, so erhalten wir

$\mathbb {I} (\Sigma _{n,m})=\langle Z_{a,b}Z_{c,d}-Z_{a,d}Z_{c,b}\mid 0\leq a,c\leq n,0\leq b,d\leq m\rangle$.

Die Segre-Varietät kann also auch als Nullstellenmenge der $2\times 2$ Minoren der Matrix $(Z_{ij})_{ij}$ aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietät.

Produkte in der Kategorie der (quasi-)projektiven Varietäten

Sind $X\subseteq \mathbb {P} ^{n}$, $Y\subseteq \mathbb {P} ^{m}$ (lokal-)abgeschlossene Teilmengen, so ist auch $\sigma _{n,m}(X\times Y)\subseteq \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}$ (lokal-)abgeschlossen.

Da $\sigma _{n,m}\colon X\times Y\to \sigma _{n,m}(X\times Y)$ bijektiv ist, kann damit auf $X\times Y$ die Struktur einer (quasi-)projektiven Varietät definiert werden, indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion $\sigma _{n,m}$ überträgt.

Die dadurch definierte (quasi-)projektive Varietät $X\times Y$ ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie.

Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert, so kann man zeigen, dass die Segre-Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist, was sie im obigen Weg per Definition ist.

Beispiele

Quadrik

Im einfachsten Fall erhalten wir für $n=m=1$ eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach $\mathbb {P} ^{3}$. Die Segre-Varietät $\Sigma _{1,1}$ ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten $\mathbb {P} ^{3}$ mit $Z_{0},\dotsc ,Z_{3}$, so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante

$\det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.$

Literatur

• Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3.
• Karl-Heinz Fiesler, Ludger Kaup: Algebraische Geometrie. Heldermann Verlag, Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York 1977, ISBN 978-1-4419-2807-8, Exercises 2.10., 3.16.