Seiberg-Witten-Gleichung

Die Seiberg-Witten-Gleichungen stammen aus der Seiberg-Witten-Theorie in der theoretischen Physik. Ihre Lösungen heißen Monopole. In der Mathematik wird der Modulraum ihrer Lösungen zur Konstruktion der Seiberg-Witten-Invarianten verwendet.

Gleichungen

Sei $M$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spin^c-Struktur mit assoziierten Spinorbündeln $W^{\pm }$.

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind Gleichungen für ein „selbstduales Spinorfeld“ $\phi$ (d. h. einen Schnitt von $W^{+}$) und einen $U(1)$-Zusammenhang $A$ auf dem Determinantenbündel $L$. Sie lauten:

$D^{A}\phi =0,$

$F_{A}^{+}+\tau (\phi )=0.$

Dabei bezeichnet $D^{A}$ den Dirac-Operator des Zusammenhangs, $F_{A}$ die Krümmungsform des Zusammenhangs, $F_{A}^{+}:={\frac {1}{2}}(F_{A}+F_{A}^{*})$ ihren selbstdualen Anteil, und $\tau (\phi )$ den spurfreien Anteil des Endomorphismus $\theta \to \langle \theta ,\phi \rangle \phi$ von $W^{+}$.

Gestörte Gleichungen

Für eine bzgl. der Riemannschen Metrik selbst-duale 2-Form $\eta \in \Omega ^{2,+}(M,i\mathbb {R} )$ betrachtet man die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen

$D^{A}\phi =0,$

$F_{A}^{+}+\tau (\phi )+\eta =0.$

Literatur

• N. Seiberg, E. Witten: Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. In: Nuclear Physics B. Volume 426, Nr. 1, 5. September 1994, S. 19–52 (englisch).