Sekundäre charakteristische Klasse

Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundäre charakteristische Klassen (wie die Cheeger-Chern-Simons-Klassen) Invarianten flacher Bündel.

Bekanntlich können verschiedene charakteristische Klassen

$c\in H^{k}(B;\mathbb {Z} )$

von $G$-Prinzipalbündeln $E\to B$ mittels der Chern-Weil-Konstruktion durch invariante Polynome $P\in I^{k}(G)$ realisiert werden, d. h., es gibt ein invariantes Polynom $P$, so dass

$\left[P(\Omega )\right]=c_{\mathbb {R} }$

für jedes $G$-Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform $\omega$, wobei

$\Omega \in \Omega ^{2}(B)$

die Krümmungsform des Zusammenhangs $\omega$, $\left[P(\Omega )\right]$ die De-Rham-Kohomologieklasse von

$P(\Omega )\in \Omega ^{2k}(B)$,

und $c_{\mathbb {R} }$ das Bild der charakteristischen Klasse $c$ unter dem kanonischen Homomorphismus

$H^{k}(B;\mathbb {Z} )\to H^{k}(B;\mathbb {R} )$

bezeichnet.

Für flache Bündel ist

$\Omega =0$

und demzufolge verschwinden alle über die Chern-Weil-Konstruktion definierten charakteristischen Klassen, insbesondere Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen.

Die Cheeger-Chern-Simons-Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse, genauer zu jedem invarianten Polynom

$P\in I^{k}(G)$

und jeder Kohomologieklasse

$c\in H^{2k}(B)$

mit $\left[P(\Omega )\right]=c_{\mathbb {R} }$ einen Differentialcharakter

${\hat {c}}\in {\widehat {H}}^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$.

Die Kohomologiegruppe $H^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ist eine Untergruppe von ${\widehat {H}}^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ und im Fall flacher Bündel liegt ${\hat {c}}$ in dieser Untergruppe. Die so definierte Kohomologieklasse

${\hat {c}}\in H^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

heißt (die zur primären charakteristischen Klasse $c$ assoziierte) sekundäre charakteristische Klasse.

Anwendung des Bockstein-Homomorphismus $H^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{2k}(B;\mathbb {Z} )$ bildet die sekundäre charakteristische Klasse ${\hat {c}}$ auf die charakteristische Klasse $c$ ab, deren Bild in $H^{2k}(B;\mathbb {R} )$ verschwindet.

Existenz und Eindeutigkeit

Gegeben seien eine Lie-Gruppe $G$, ein invariantes Polynom $P\in I^{k}(G)$ und eine Kohomologieklasse $u\in H^{2k}(BG)$ mit $w_{k}(P)=u_{\mathbb {R} }$. Wir bezeichnen mit $\delta \colon {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to A_{0}^{2k}(B)$ die Korand-Abbildung und mit $b\colon {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{2k}(B;\mathbb {Z} )$ den Bockstein-Homomorphismus.

Satz: Für jedes $G$-Prinzipalbündel $p\colon E\to B$ mit Zusammenhangsform $\omega$ gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter

$S_{P,u}(p,\omega )\in {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

mit

• $\delta S_{P,u}(p,\omega )=P(\Omega )$
• $bS_{P,u}(p,\omega )=f^{*}u$,

so dass $S_{P,u}(p,\omega )\in {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ unter Bündelabbildungen natürlich transformiert.

Cheeger-Chern-Simons-Klassen

Ein Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger-Chern-Simons-Klassen.

Die Chern-Polynome $C_{k}\in I^{k}(GL(n,\mathbb {C} ))$ seien definiert durch die Relation

$\det(\lambda \,\mathrm {id} _{n}-{\frac {1}{2\pi i}}A)=\sum _{k=0}^{n}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}$

für alle $A\in GL(n,\mathbb {C} )$. Der universelle Chern-Weil-Homomorphismus

$w_{k}\colon I^{k}(G)\to H^{2k}(BG;\mathbb {R} )$

bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes $BG$ ab.

Im Fall der Chern-Polynome gibt es die universellen Chern-Klassen $c_{k}\in H^{2k}(BGL(n,\mathbb {C} );\mathbb {Z} )$ und für diese gilt

$w_{k}(C_{k})=(c_{k})_{\mathbb {R} }$.

Für ein $GL(n,\mathbb {C} )$-Prinzipalbündel $p\colon E\to B$ gibt es nun eine klassifizierende Abbildung $f\colon B\to BGL(n,\mathbb {C} )$ und die Chern-Klasse von $p\colon E\to B$ ist $f^{*}c_{k}\in H^{2k}(B;\mathbb {Z} )$. Für eine Zusammenhangsform $\omega$ definiert man nun

${\hat {c}}_{k}(p,\omega ):=S_{C_{k},c_{k}}(p,\omega )\in {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )$.

Im Fall flacher Bündel $p\colon E\to B$ erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Klassen

${\hat {c}}_{k}(p)\in H^{2k-1}(B;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )$.

Falls $B$ eine $(2k-1)$-dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist, erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Invariante

$CCS(p):=\langle {\hat {c}}_{k}(p),\left[M\right]\rangle \in \mathbb {C} /\mathbb {Z}$

des flachen Bündels $p\colon E\to B$ durch Anwenden der Cheeger-Chern-Simons-Klasse auf die Fundamentalklasse $\left[M\right]\in H_{2k-1}(M;\mathbb {Z} )$.

Literatur

• Cheeger, Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 50–80, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985. pdf
• Dupont, Hain, Zucker: Regulators and characteristic classes of flat bundles. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 47–92, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

Weblinks

• Kapitel 3.2 in Bucher: Characteristic classes and bounded cohomology