Sellmeier-Gleichung

Die Sellmeier-Gleichung ist in der Optik eine empirisch ermittelte, funktionelle Beschreibung der Abhängigkeit des Brechungsindex $n$ eines lichtdurchlässigen Mediums von der Wellenlänge $\lambda$ des Lichts. Die Gleichung wurde nach Wolfgang von Sellmeier benannt, der sie 1871 in Anlehnung an die Cauchy-Gleichung und Kramers-Kronig-Relation veröffentlichte. Anwendung findet sie vor allem in der technischen Optik zur Beschreibung der Dispersion von optischem Glas und anderen optischen Werkstoffen.

Mathematische Beschreibung

Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7

Koeffizient	Wert
B1	1,03961212
B2	0,231792344
B3	1,01046945
C1	6,00069867·10−3 μm2
C2	2,00179144·10−2 μm2
C3	103,560653 μm2

Darstellung des Brechungsindex von Borsilikatglas (BK7) gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen.

Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet:

$n^{2}(\lambda )\,=\,1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}$

mit B_1,2,3 und C_1,2,3 als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B_1,2,3 sind dimensionslos und die C_1,2,3 werden gewöhnlich in μm² angegeben.

Die Genauigkeit im sichtbaren Bereich ist in der Regel besser als $\pm 5\cdot 10^{-6}$.

Der rechte Term der Gleichung kann für eine größere Genauigkeit auch um weitere Summanden erweitert werden:

$n^{2}(\lambda )\,=\,1+\sum _{i=1}^{m}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}$

Setzt man $C_{i}=\lambda _{i}^{2}$, so lassen sich die $\lambda _{i}$ als Resonanzwellenlängen von Absorptionslinien oder -banden erklären.

Siehe auch

• Achromat
• Apochromat
• Chromatische Aberration.