Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie
(
T
(
t
)
)
t
∈
R
{\displaystyle (T(t))_{t\in \mathbb {R} }}
beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum
X
{\displaystyle X}
stark stetigen Halbgruppe . Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.
Seien
X
{\displaystyle X}
T
=
(
T
(
t
)
)
t
∈
R
{\displaystyle T=(T(t))_{t\in \mathbb {R} }}
T
(
t
)
:
X
→
X
{\displaystyle T(t):X\rightarrow X}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
T
(
0
)
=
I
{\displaystyle T(0)=I}
T
(
s
+
t
)
=
T
(
s
)
T
(
t
)
{\displaystyle T(s+t)=T(s)T(t)}
s
,
t
∈
R
{\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }
lim
t
→
0
T
(
t
)
x
=
x
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}T(t)x=x}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.
Der (infinitesimale) Erzeuger
(
A
,
D
(
A
)
)
{\displaystyle (A,D(A))}
D
(
A
)
:=
{
x
∈
X
:
lim
h
→
0
T
(
h
)
x
−
x
h
e
x
i
s
t
i
e
r
t
}
{\displaystyle D(A):=\left\{x\in X:\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {T(h)x-x}{h}}\ \mathrm {existiert} \right\}}
und
A
x
:=
lim
h
→
0
T
(
h
)
x
−
x
h
{\displaystyle Ax:=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {T(h)x-x}{h}}}
x
∈
D
(
A
)
{\displaystyle x\in D(A)}
Erzeugen
(
A
,
D
(
A
)
)
{\displaystyle (A,D(A))}
(
T
+
(
t
)
)
t
≥
0
{\displaystyle (T_{+}(t))_{t\geq 0}}
‖
T
+
(
t
)
‖
≤
M
e
ω
t
{\displaystyle \|T_{+}(t)\|\leq Me^{\omega t}}
(
−
A
,
D
(
A
)
)
{\displaystyle (-A,D(A))}
(
T
−
(
t
)
)
t
≥
0
{\displaystyle (T_{-}(t))_{t\geq 0}}
‖
T
−
(
t
)
‖
≤
M
e
ω
t
{\displaystyle \|T_{-}(t)\|\leq Me^{\omega t}}
ω
∈
R
{\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }
M
>
0
{\displaystyle M>0}
t
>
0
{\displaystyle t>0}
So ist
(
A
,
D
(
A
)
)
{\displaystyle (A,D(A))}
(
T
(
t
)
)
t
≥
0
{\displaystyle (T(t))_{t\geq 0}}
T
(
t
)
=
T
+
(
t
)
{\displaystyle T(t)=T_{+}(t)}
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
T
(
t
)
=
T
−
(
−
t
)
{\displaystyle T(t)=T_{-}(-t)}
t
<
0
{\displaystyle t<0}
‖
T
(
t
)
‖
≤
M
e
ω
|
t
|
{\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
Sei
(
A
,
D
(
A
)
)
{\displaystyle (A,D(A))}
ω
∈
R
{\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }
M
>
0
{\displaystyle M>0}
(
ω
,
∞
)
∪
(
−
∞
,
−
ω
)
⊂
ρ
(
A
)
{\displaystyle (\omega ,\infty )\cup (-\infty ,-\omega )\subset \rho (A)}
‖
(
(
|
λ
|
−
ω
)
R
(
λ
,
A
)
)
n
‖
≤
M
{\displaystyle \|((|\lambda |-\omega )R(\lambda ,A))^{n}\|\leq M}
λ
>
ω
,
λ
<
−
ω
{\displaystyle \lambda >\omega ,\lambda <-\omega }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Dann erzeugt
(
A
,
D
(
A
)
)
{\displaystyle (A,D(A))}
(
T
(
t
)
)
t
∈
R
{\displaystyle (T(t))_{t\in \mathbb {R} }}
‖
T
(
t
)
‖
≤
M
e
ω
|
t
|
{\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
R
(
λ
,
A
)
{\displaystyle R(\lambda ,A)}
Resolvente und
ρ
(
A
)
{\displaystyle \rho (A)}
Resolventenmenge von
A
{\displaystyle A}
Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien
X
{\displaystyle X}
Hilbertraum und
T
{\displaystyle T}
T
(
t
)
{\displaystyle T(t)}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator
A
{\displaystyle A}
i
A
{\displaystyle iA}
T
{\displaystyle T}
i
A
{\displaystyle iA}
A
{\displaystyle A}
Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel : One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
Tosio Kato : Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics )).Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44). 
