Starke Eigenschaft T

In der Mathematik ist die starke Eigenschaft T eine die Eigenschaft T verschärfende Eigenschaft von Gruppen, die als Obstruktion in Lafforgues Ansatz zum Beweis der Baum-Connes-Vermutung auftrat und in Beweisen von Vermutungen aus dem Zimmer-Programm Anwendung findet.

Definition

Eine lokal kompakte Gruppe $G$ erfüllt die starke Eigenschaft T, wenn es positive Konstanten $s,t,C$ und eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen $m_{n}$ mit Träger in $\left\{g\in G\colon l(g)\leq n\right\}$ gibt, so dass für jede Darstellung $\pi \colon G\to B(X)$ in die beschränkten Operatoren auf einem Banach-Raum mit $\Vert \pi (g)\Vert \leq Le^{sl(g)}$ (für ein $L\in \mathbb {R}$ und alle $g\in G$) es ein $P\in B(X)$ gibt mit

$\Vert \pi (m_{n})-P\Vert \leq CL^{2}e^{-tn}$

und

$\lim _{n\to \infty }\Vert \pi (\delta _{g}*m_{n}*\delta _{h})-\pi (m_{n})\Vert =0$

für alle $g,h\in G$. Die letzte Bedingung bedeutet, dass $P$ eine Projektion auf einen $\pi (G)$-invarianten Unterraum parallel zu einem $\pi (G)$-invarianten Komplementärraum ist.

Beispiele

• Gitter in einfachen Lie-Gruppen oder einfachen algebraischen Gruppen vom Rang mindestens $2$ haben die starke Eigenschaft T.
• Hyperbolische Gruppen haben nie die starke Eigenschaft T.

Anwendungen

Wenn eine Gruppe die starke Eigenschaft T hat, dann hat jede isometrische Wirkung auf einem Hilbert-Raum einen Fixpunkt.

Wenn eine Gruppe mit starker Eigenschaft T auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt und ${\frac {1}{l(g)}}\sup _{x\in M}\Vert D_{x}g\Vert \to 0$ gilt, dann handelt es sich um eine isometrische Wirkung.

Literatur

• Vincent Lafforgue: Un renforcement de la propriété (T). Duke Math. J. 143, No. 3, 559–602 (2008).
• Mikael de la Salle: Strong property (T) for higher rank lattices. Acta Math. 223, No. 1, 151–193 (2019).