Straffe Kontaktstruktur

In der Mathematik sind straffe Kontaktstrukturen (englisch: tight contact structure) ein Begriff aus der Kontaktgeometrie. Der Begriff geht auf Eliashberg zurück. In der $3$-dimensionalen Kontaktgeometrie hat man eine fundamentale Dichotomie zwischen straffen und überdrehten Kontaktstrukturen.

Definition

Eine Kontaktstruktur auf einer 3-Mannigfaltigkeit heißt straff, wenn es in der Mannigfaltigkeit keine überdrehten Kreisscheiben gibt, also keine eingebetteten Kreisscheiben, deren Rand ein Legendre-Knoten ist und die entlang des Randes transversal zur Kontaktstruktur sind.

Mit anderen Worten: Kontaktstrukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten sind straff, falls sie nicht „überdreht“ (englisch: overtwisted) sind. Sie sind überdreht, falls die Kontaktstruktur eine überdrehte Kreisscheibe enthält.

Beispiele

Die Standard-Kontaktstruktur $dz-xdy=0$ auf $\mathbb {R} ^{3}$.

• Die Standard-Kontaktstruktur mit Kontaktform $\alpha =dz-xdy$ auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ ist straff.
• Die durch die Kontaktformen $\alpha _{n}=\cos(n\theta )dx-\sin(n\theta )dy$ auf dem Volltorus $S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}$ gegebenen Kontaktstrukturen $\xi _{n}$ sind straff.
• Straffheitssatz von Gromov-Eliashberg: Wenn eine Kontaktstruktur symplektisch füllbar ist, dann ist sie straff. Zum Beispiel ist die durch $\alpha =xdy-ydx+zdw-wdz$ auf $S^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}$ gegebene Standard-Kontaktstruktur der 3-Sphäre straff.
• Kontaktüberlagerungslemma: Wenn $(M,\xi ^{\prime })\to (M,\xi )$ eine Kontaktüberlagerung und $\xi ^{\prime }$ straff ist, dann ist auch $\xi$ straff. Zum Beispiel sind die durch $\alpha _{n}=\cos(n\theta )dx-\sin(n\theta )dy$ auf dem 3-Torus $T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$ gegebenen Kontaktstrukturen $\xi _{n}$ straff.

Klassifikationen

• Auf $\mathbb {R} ^{3}$ und $S^{3}$ ist die Standard-Kontaktstruktur die einzige straffe, positive Kontaktstruktur.
• Auf $T^{3}$ liefern die $\xi _{n}$ eine vollständige Liste straffer Kontaktstrukturen.
• Die Poincaré-Homologiesphäre mit umgekehrter Orientierung trägt keine straffe, positive Kontaktstruktur.
• Die zusammenhängende Summe $P^{2}\mathbb {R} \sharp P^{2}\mathbb {R}$ trägt keine straffe Kontaktstruktur.

Literatur

• H. Geiges: Contact Topology, Cambridge University Press 2008
• H. Geiges: Contact geometry, in: F. J. E. Dillen, L.C.A. Verstraelen (Hrsg.), Handbook of Differential Geometry, Band 2, North-Holland, Amsterdam, 2006, S. 315–382, Arxiv (Abschnitt 3.6 Tight and Overtwisted)