Subnormale

Graphische Darstellung einer Subnormalen (gelbe Strecke)

Die Subnormale ist ein Begriff aus der Analysis. Ist eine Kurve differenzierbar in einer Stelle $x_{0}$, so ist die Subnormale die Strecke zwischen der Stelle $x_{0}$ auf der Abszisse und der Nullstelle der Normalen. In der nebenstehenden Abbildung ist die betrachtete Kurve rot und die Normale in $x_{0}$ grün dargestellt. Die Projektion der Normalen auf die Abszisse heißt Subnormale (gelb).

Über die Gleichung der Normalen

$n(x)={\frac {-1}{f'(x_{0})}}\cdot (x-x_{0})+f(x_{0})$

gelangt man zur Nullstelle $x_{s}=f(x_{0})\cdot f'(x_{0})+x_{0}$ und somit zur Subnormalen $|f(x_{0})\cdot f'(x_{0})|$.

Der Betrag der Subnormalen der $e$-Funktion $f(x)=e^{x}$ ist für alle Normalen $e^{2x}$, da gilt:

$|f(x_{0})\cdot f'(x_{0})|=|e^{x_{0}}\cdot e^{x_{0}}|=e^{2x_{0}}$.

Bei Parabeln, die zur $x$-Achse symmetrisch sind, hat die Subnormale an allen Stellen $x_{0}$ dieselbe Länge. Mit der Funktionsgleichung

$f(x)=\pm {\sqrt {2a(x-c)}}$,

wobei $a\neq 0$ und $c$ feste Parameter sind, ergibt sich die Länge $|f(x_{0})\cdot f'(x_{0})|=|a|$.

Als Analogie zur Tangente gibt es die Subtangente.

Literatur

• Guido Walz: Lexikon der Mathematik – Band 5. Springer, 2. Auflage 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 142 (online auf spektrum.de)

Weblinks

Wiktionary: Subnormale – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen