Sudakov-Formfaktor

Die Sudakov-Formfaktoren $\Delta _{F}(Q^{2},q^{2})$ beschrieben die Wahrscheinlichkeit des Abstrahlens von Partonen durch Partonen vor und nach dem harten Prozess beim Partonschauer. Die Faktoren geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Parton $F$ bei der Entwicklung der Virtualität des Teilchens von $q^{2}$ bis $Q^{2}$ kein zusätzliches Parton abstrahlt. Man spricht daher von Nichtabstrahlungswahrscheinlichkeiten.

Herleitung

Grundlage für die Herleitung ist die folgende Differentialgleichung, welche die Abstrahlungshäufigkeit in der Partonevolution nach steigendem $q^{2}$ beschreibt:

${\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} (q^{2})}}=-{\frac {N}{q^{2}}}{\frac {\alpha s}{2\pi }}\int _{Q_{0}^{2}/q^{2}}^{1-Q_{0}^{2}/q^{2}}\mathrm {d} zP_{FG}(z)$

Dabei wird mit $F$ das Parton vor der Abstrahlung und mit $G$ das Parton nach der Abstrahlung bezeichnet. Das abgestrahlte Parton ist durch diese Angaben bereits festgelegt. Die $P_{FG}$ sind die unregularisierten Kollinearsplitting-Funktionen (Siehe auch DGLAP-Gleichungen#Splitting-Funktionen.)

Daraus erhält man dann für die Sudakov-Formfaktoren durch Lösen der obigen Gleichung nach $N$ und normieren:

$\Delta _{F}(Q^{2},q^{2})=\exp \left(-\int _{q^{2}}^{Q^{2}}{\frac {\mathrm {d} k^{2}}{k^{2}}}{\frac {\alpha s}{2\pi }}\int _{Q_{0}^{2}/q^{2}}^{1-Q_{0}^{2}/q^{2}}\mathrm {d} zP_{FG}(z)\right)$

wobei hier implizit im Exponenten über alle möglichen $G$ summiert wird.