Superpermutation

Verteilung von Permutationen in einer Superpermutation mit 3 Symbolen, C=rot, B=blau, A=grün

Eine Superpermutation von $n$ Zeichen ist in der Kombinatorik eine Zeichenkette, die jede mögliche Permutation, also Kombination, dieser $n$ Zeichen als Zeichenkette beinhaltet.

Es wurde gezeigt, dass für 1≤ $n\leq 5$ die kleinste Superpermutation die Länge $1!+2!+\dots +n!$, also $\sum _{i=1}^{n}i!$, hat. So gibt es beispielsweise 6 Permutationen für die drei Elemente $\{1,2,3\}$, nämlich $123$, $132$, $213$, $231$, $312$ und $321$; und eine kleinste Superpermutation, welche alle diese Permutationen beinhaltet, hat eine Länge von 9 Zeichen: $321323123$.

Die ersten fünf Superpermutationen haben die Längen 1, 3, 9, 33 und 153. Die Zeichenketten dieser Permutationen sehen beispielsweise so aus:

• 1
• 121
• 123121321
• 123412314231243121342132413214321
• 123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543121345213425134215342135421324513241532413524132541321453214352143251432154321.

Für eine Zeichenmenge von $n=6$ wurde 2014 eine kürzere Superpermutation als $\sum _{i=1}^{n}i!$ gefunden. Anstelle einer Länge von 873 Zeichen wurden für $n=6$ nur 872 Zeichen benötigt. Es wird daher erwartet, dass für $n\geq 6$ gilt, dass maximal eine Länge von $(1!+2!+\dots +n!)-1$ für die kürzeste Superpermutation benötigt wird: “The minimal length is still unknown for $n\geq 6$, but we can show that for all $n\geq 6$ it is strictly less than the conjectured length […]”.

Auf dem Imageboard 4chan wurde am 27. September 2011 von einem anonymen Nutzer nachgewiesen, dass die kürzeste Superpermutation für $n\geq 2$ eine Länge von mindestens $n!+(n-1)!+(n-2)!+n-3$ hat. Robin Houston, Jay Pantone und Vince Vatter haben am 25. Oktober 2018 einen vollständigen Beweis dessen in der Datenbank OEIS veröffentlicht.

Literatur

• Daniel A. Ashlock, Jenett Tillotson: Construction of small superpermutations and minimal injective superstrings. In: Congressus Numerantium. 1993, S. 91–98, Zbl 0801.05004.
• Nathaniel Johnston: Non-uniqueness of minimal superpermutations. In: Discrete Mathematics. Band 313, Nr. 14, 28. Juli 2013, S. 1553–1557, doi:10.1016/j.disc.2013.03.024, arxiv:1303.4150 (Zbl 1368.05004). 
• Robin Houston: Tackling the Minimal Superpermutation Problem. 21. August 2014, arxiv:1408.5108. 

Weblinks

• The Minimal Superpermutation Problem – Nathaniel Johnston’s blog
• James Grime: Superpermutations – Numberphile. (video) Brady Haran, abgerufen am 1. Februar 2018 (englisch).