Sylvestermatrix

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In der Algebra ist die Sylvestermatrix zu zwei Polynomen eine spezielle mit den Koeffizienten der Polynome besetzte Matrix, deren Determinante die Resultante der Polynome ergibt. Sie ist nach dem britischen Mathematiker James J. Sylvester benannt.

Sei ein kommutativer Ring. Für zwei Polynome und aus dem Polynomring mit

und

vom Grad heißt die quadratische -Matrix

die Sylvestermatrix zu und . In der Darstellung sind nicht spezifizierte Koeffizienten als Null zu verstehen.

Für sei die Matrix, die aus der Sylvestermatrix durch Streichung der letzten Zeilen von -Koeffizienten, der letzten Zeilen von -Koeffizienten sowie der letzten Spalten mit Ausnahme der -ten hervorgeht. Das Polynom

ist dann die -te Subresultante von und ; ihr Leitkoeffizient

ist der -te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der -te Hauptsubresultantenkoeffizient

schließlich ist die Resultante von und .

Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste mit .