Thom-Vermutung

Die Thom-Vermutung ist in der Mathematik eine inzwischen bewiesene, auf René Thom zurückgehende Vermutung über Flächen in der komplex-projektiven Ebene. Die Vermutung und ihre Verallgemeinerung auf symplektische Mannigfaltigkeiten waren eine wichtige Motivation bei der Entwicklung analytisch-topologischer Methoden wie den Seiberg-Witten-Invarianten.

Hintergrund

Glatte algebraische Kurven $C$ in der komplex-projektiven Ebene sind gegeben durch homogene Polynome. Sie sind komplex 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten, also topologische Flächen. Das Geschlecht einer durch ein Polynom vom Grad $d$ gegebenen algebraischen Kurve berechnet sich nach der Formel

$g=(d-1)(d-2)/2$.

Vermutung

Die nach René Thom benannte Thom-Vermutung besagt: Wenn $\Sigma$ eine in die komplex-projektive Ebene eingebettete differenzierbare Fläche ist, die dieselbe Homologieklasse repräsentiert wie eine durch ein homogenes Polynom vom Grad $d$ gegebene glatte algebraische Kurve, dann erfüllt das Geschlecht $g$ der Fläche $\Sigma$ die Ungleichung

$g\geq (d-1)(d-2)/2$.

Insbesondere ist jede algebraische Kurve $C$ eine Fläche minimalen Geschlechts (Thurston-Norm-minimierende Fläche) in ihrer Homologieklasse.

Man sieht leicht, dass die 2. Homologie der komplex-projektiven Ebene isomorph zu den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist, glatte algebraische Kurven vom Geschlecht $d$ entsprechen unter diesem Isomorphismus der Zahl $d\in \mathbb {Z}$. Die Thom-Vermutung berechnet also die Thurston-Norm (das minimale Geschlecht) für alle Homologieklassen in $H_{2}(\mathbb {C} P^{2})$.

Beweis

Wenige Wochen nachdem Edward Witten die Seiberg-Witten-Invarianten in die Mathematik eingeführt hatte, bewiesen Kronheimer–Mrowka im Oktober 1994 die Thom-Vermutung mit Hilfe dieser neuen Invarianten.

Verallgemeinerung

Die symplektische Thom-Vermutung besagt, dass symplektische Flächen in symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten Flächen minimalen Geschlechts in ihrer Homologieklasse sind. Die Thom-Vermutung ist ein Spezialfall, weil die glatten algebraischen Kurven symplektische Untermannigfaltigkeiten bzgl. der kanonischen symplektischen Struktur auf der komplex-projektiven Ebene sind.

Die symplektische Thom-Vermutung wurde mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten durch Morgan–Szabó–Taubes für symplektische Flächen nichtnegativer Selbstschnittzahl bewiesen. Den allgemeinen Beweis für die symplektische Thom-Vermutung gaben schließlich Ozsváth und Szabó ebenfalls mit Hilfe von Seiberg-Witten-Invarianten.

Es ist allerdings im Allgemeinen eine schwierige Frage, welche Homologieklassen einer symplektischen Mannigfaltigkeit sich durch symplektische Untermannigfaltigkeiten repräsentieren lassen.