Tits-Alternative

In den mathematischen Gebieten der Gruppentheorie und linearen Algebra bezeichnet die Tits-Alternative eine Eigenschaft von Matrixgruppen, nämlich entweder fast-auflösbar zu sein oder eine nichtabelsche freie Untergruppe zu enthalten. Sie ist benannt nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits.

Tits-Alternative

Es sei $K$ ein beliebiger Körper und $GL(n,K)$ die allgemeine lineare Gruppe, d. h. die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit Einträgen aus dem Körper $K$.

Dann trifft für jede endlich erzeugte Untergruppe $\Gamma \subset GL(n,K)$ genau eine der beiden folgenden Alternativen zu:

• $\Gamma$ ist fast-auflösbar, d. h., es enthält eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index, oder
• $\Gamma$ enthält eine freie Untergruppe $F$ vom Rang $rk(F)\geq 2$.

Die beiden Möglichkeiten schließen sich gegenseitig aus.

Dieser Satz wurde von Bass und Serre vermutet und 1972 von Jacques Tits bewiesen. Ein wesentliches Ingredient im Beweis war das Ping-Pong-Lemma.

Allgemein spricht man davon, dass eine Klasse von Gruppen die Tits-Alternative erfüllt, wenn alle Gruppen aus dieser Klasse entweder fast-auflösbar sind oder eine freie Untergruppe vom Rang $\geq 2$ enthalten.

Beispiele

Die Tits-Alternative gilt für zahlreiche Klassen von Gruppen, darunter die folgenden:

• Endlich erzeugte Untergruppen von $GL(n,K)$ für einen beliebigen Körper $K$
• Hyperbolische Gruppen
• Abbildungsklassengruppen kompakter Flächen
• $Out(F_{n})$
• Gruppen, welche frei und eigentlich auf einem CAT(0)-Würfelkomplex wirken
• Gruppen polynomieller Automorphismen des $\mathbb {C} ^{2}$
• Gruppen bimeromorpher Automorphismen kompakter Kählermannigfaltigkeiten
• Gruppen birationaler Abbildungen kompakter Kählerflächen

Gegenbeispiele

Eine Gruppe, für die die Tits-Alternative nicht gilt, muss entweder

• eine mittelbare Gruppe, aber nicht fast-auflösbar sein

oder aber

• nicht mittelbar sein, aber keine freie Untergruppe vom Rang $\geq 2$ enthalten.

Gruppen mit einer dieser beiden Eigenschaften sind schwer zu konstruieren und gelten als exotisch. Man kennt inzwischen aber eine Reihe von Beispielen:

• die Thompsonsche Gruppe
• die Tarski-Gruppe
• die Burnside-Gruppen $B(m,n)$ für $n\geq 665$ ungerade
• die Grigortschuk-Gruppe.

Es gibt endlich erzeugte auflösbare Gruppen, deren Automorphismengruppen nicht der Tits-Alternative genügen.

Literatur

Tits, J.: "Free subgroups in linear groups". Journal of Algebra 20 (2), 250–270 (1972). online (pdf)

Weblinks

Tointon: The Tits Alternative, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022