Todd-Klasse

Die Todd-Klasse ist eine Konstruktion aus der algebraischen Topologie der charakteristischen Klassen. Die Todd-Klasse eines Vektorbündels kann mit der Theorie der Chern-Klassen erklärt werden und existiert dort, wo diese existieren, besonders in der Differentialtopologie, der Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten und in der algebraischen Geometrie. Grob gesagt wirkt sie wie eine reziproke Chern-Klasse beziehungsweise steht zu ihr in Beziehung wie ein Normalenbündel zu einem Konormalenbündel. Die Todd-Klasse spielt eine fundamentale Rolle in der Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen, im Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch oder Satz von Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.

Sie wird nach dem englischen Mathematiker John Arthur Todd benannt, der einen Spezialfall 1937 in die algebraische Geometrie einführte, vor der Definition der Chern-Klassen. Die geometrische Idee wird manchmal auch Todd-Eger-Klasse genannt, die allgemeine Definition in höheren Dimensionen stammt von Friedrich Hirzebruch (in seinem Buch Topologische Methoden der algebraischen Geometrie).

Definition

Um die Todd-Klasse $\operatorname {td} (E)$ zu einem komplexen $n$-dimensionalen Vektorbündel $E$ auf einem topologischen Raum $X$ zu definieren, ist es meist möglich sich auf eine Whitney-Summe (das heißt direkte Summe) von Geradenbündeln zu beschränken unter Verwendung einer allgemeinen Methode aus der Theorie charakteristischer Klassen, den Chern-Wurzeln. Man betrachte

${\begin{aligned}Q(x)=&{\frac {x}{1-e^{-x}}}\\=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k!}}x^{k}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{12}}x^{2}+\ldots \end{aligned}}$

als formale Potenzreihe, wobei die Koeffizienten $B_{i}$ die Bernoullizahlen sind. Falls $E$ die $\alpha _{i}$ als Chern-Wurzeln hat, ist

$\operatorname {td} (E)=\prod _{i=1}^{n}Q(\alpha _{i})=\prod _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k!}}\alpha _{i}^{k}\,,$

was im Kohomologiering von $X$ berechnet wird (oder in seiner Vervollständigung, falls man unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet).

Die explizite Form der Todd-Klasse als formale Potenzreihe in den Chern-Klassen ist:

$\operatorname {td} (E)=1+c_{1}\cdot {\frac {1}{2}}+(c_{1}^{2}+c_{2})\cdot {\frac {1}{12}}+c_{1}c_{2}\cdot {\frac {1}{24}}+\ldots \,,$

wobei die Kohomologieklassen $c_{i}$ die Chern-Klassen von $E$ sind und in der Kohomologiegruppe $H^{2i}(X)$ liegen. Falls $X$ endlichdimensional ist, verschwinden die meisten Terme und $\operatorname {td} (E)$ ist ein Polynom in den Chern-Klassen.

Literatur

• J. Todd: The arithmetical theory of algebraic loci. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 43, 1937, ISSN 0024-6115, S. 190–225.
• Friedrich Hirzebruch: Topological methods in algebraic geometry (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131). 2nd corrected printing of the 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-03525-7.