Topologische Entropie

Die topologische Entropie ist eine Invariante, die die Komplexität dynamischer Systeme misst. Sie verallgemeinert den (maßtheoretischen) Begriff der Kolmogorow-Sinai-Entropie auf nicht notwendig maßerhaltende dynamische Systeme.

Die Entropie misst die Chaotizität eines dynamischen Systems. Man bezeichnet dynamische Systeme als chaotisch, wenn ihre Entropie positiv ist.

Definitionen

Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $f\colon X\to X$ eine stetige Abbildung.

Definition nach Adler-Konheim-McAndrew

Die topologische Entropie $h(f)$ des durch Iteration von $f$ definierten dynamischen Systems wird wie folgt definiert.

Für eine endliche offene Überdeckung ${\mathcal {U}}$

$X=\cup _{i=1}^{n}U_{i}$

von $X$ durch offene Mengen $U_{i}$ bezeichnen wir mit

$H({\mathcal {U}})$

den Logarithmus der minimalen Anzahl von Mengen aus ${\mathcal {U}}$, die bereits ganz $X$ überdecken. Für zwei offene Überdeckungen ${\mathcal {U}}$ und ${\mathcal {V}}$ bezeichnen wir mit ${\mathcal {U}}\vee {\mathcal {V}}$ die Überdeckung durch offene Mengen der Form

$U_{i}\cap V_{j}$ mit $U_{i}\in {\mathcal {U}},V_{j}\in {\mathcal {V}}$.

Mit diesen Bezeichnungen wird die topologische Entropie von $f$ definiert als

$h(f)=\sup _{\mathcal {U}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H({\mathcal {U}}\vee f^{-1}{\mathcal {U}}\vee \ldots \vee f^{-n+1}{\mathcal {U}})$,

wobei das Supremum über alle offenen Überdeckungen ${\mathcal {U}}$ genommen wird.

Metrische Definition nach Bowen und Dinaburg

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $f\colon X\to X$ wieder eine stetige Abbildung.

Für alle $n\in \mathbb {N}$ definieren wir eine neue Metrik durch

$d_{n}(x,y)=max\left\{d(f^{k}(x),f^{k}(y)):0\leq k\leq n-1\right\}$.

Für $\epsilon >0$ sei

$N(d_{n},\epsilon )$

die maximale Kardinalität einer Menge $M\subset X$ mit $d_{n}(m,m^{\prime })\geq \epsilon$ für alle $m\not =m^{\prime }\in M$.

Dann definieren wir die topologische Entropie von $f$ durch

$h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(d_{n},\epsilon )$.

Wenn $X$ ein kompakter metrischer Raum ist, dann stimmt diese Definition mit der von Adler-Konheim-McAndrew überein.

Beispiele

• Für eine Isometrie $f$ oder allgemeiner eine Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante $\leq 1$ ist $h(f)=0$.
• Für eine logistische Abbildung $f(x)=\mu x(1-x)$ mit $\mu >2+{\sqrt {5}}$ ist $h(f)=\ln(2)$.
• Die topologische Entropie der Winkelverdopplungsabbildung ist $\ln(2)$.
• Die topologische Entropie der Shiftabbildung auf $k$ Symbolen ist $\ln(k)$.

Eigenschaften

• $h(f^{k})=kh(f)$.
• Für einen Homöomorphismus ist $h(f^{-1})=h(f)$.
• $h(gfg^{-1})=h(f)$ für jeden Homöomorphismus $g$ und beliebige $f$.
• Die topologische Entropie hängt nur von der Topologie, nicht von der zugrundeliegenden Metrik ab.

Literatur

• Luis Barreira, Claudia Valls: Dynamical systems. An introduction. Translated from the 2012 Portuguese original. Universitext. Springer, London 2013, ISBN 978-1-4471-4834-0.
• R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew: Topological entropy. In: Trans. Amer. Math. Soc. 114, 1965, S. 309–319.
• Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
• E. I. Dinaburg: A connection between various entropy characterizations of dynamical systems. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35, 1971, S. 324–366. (russisch)