Topologischer Kamm

Topologischer Kamm

Der topologische Kamm ist ein topologischer Raum, der eine Quelle für Gegenbeispiele in der Topologie ist.

Definition

Der topologische Kamm ist gegeben durch

$K=(\{{\tfrac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})\cup (\{0\}\times [0,1])\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

ausgestattet mit der Teilraumtopologie.

Der gelöschte topologische Kamm ist gegeben als $D=K\setminus (\{0\}\times (0,1))$.

Topologische Eigenschaften

Der topologische Kamm ist ein Beispiel für einen topologischen Raum, der wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend ist, denn kein Punkt aus $\{0\}\times (0,1]$ hat eine Umgebungsbasis aus wegzusammenhängenden Mengen.

Der gelöschte topologische Kamm ist ein Beispiel für einen topologischen Raum, der zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist, denn es gibt keinen Weg zwischen $(0,0)$ und $(0,1)$.

Quellen

• James Munkres: Topology. 2. Auflage. Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2.