Transitive Menge

In der Mengenlehre nennt man eine Menge $A$ transitiv, falls

• aus $x\in A$ und $y\in x$ immer folgt, dass $y\in A$, in Zeichen:

$\forall x,y:\,x\in A\land y\in x\Rightarrow y\in A$,

oder äquivalent falls

• jedes Element von $A$, das eine Menge ist, eine Teilmenge von $A$ ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse $A$ transitiv, falls jedes Element von $A$ eine Teilmenge von $A$ ist.

Beispiele

• Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
• Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
• Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften

• Eine Menge $A$ ist genau dann transitiv, wenn $\bigcup A\subseteq A$, wobei $\bigcup A=\bigcup _{x\in A}x=\{y|(\exists x\in A)y\in x\}=\{y|y\in ^{2}A\}$ die Vereinigung aller Elemente von $A$ ist.
• Falls $A$ transitiv ist, dann ist auch $\bigcup A$ transitiv.
• Falls $A$ und $B$ transitive Mengen sind, dann ist auch $A\cup B\cup \{A,B\}$ transitiv.
• Allgemein, falls $A$ eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist $A\cup \bigcup A$ eine transitive Klasse.
• Eine Menge $A$ ist genau dann transitiv, wenn $A$ eine Teilmenge der Potenzmenge von $A$ ist.
• Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Verallgemeinerung

Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) $A$ und eine Relation $R$ darauf. $A$ heißt $R$-transitiv, wenn gilt:

$\forall x,y:\,x\in A\land y\,R\,x\Rightarrow y\in A$.

Im Fall $R={\in }$ ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

Siehe auch

• Transitive Relation
• Transitive Hülle (Menge)

Literatur

• Thomas Jech: The Axiom of Choice. Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8 ( [originally published in 1973]).