Trigamma-Funktion

Die Trigammafunktion $\psi _{1}(z)$ in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion $\psi$. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit $\psi _{1}$ bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion $\ln$$(\Gamma (x))$ definiert, wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnet.

Definition und weitere Darstellungen

Die Definition lautet:

$\psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z).$

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion $\psi (z)$, dass

$\psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\psi (z)$

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

$\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}}=\zeta (2,z)$

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen $\zeta$-Funktion ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

$\psi _{1}(z)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\int \limits _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}\,\mathrm {d} x}{1-x}}.$

Außerdem gilt

$\psi _{1}(z)=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,\mathrm {d} x.$

Berechnung und Eigenschaften

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen $B_{2k}$ ein:

$\psi _{1}(z)\sim {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}$.

Zwar ist die Reihe für kein $z$ mit $N\to \infty$ konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte $N$ eine sehr gute Näherung dar. Je größer $|z|$ ist, desto größer kann $N$ gewählt werden.

Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:

$\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}$

Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:

$\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,$

Hier ist $\csc$ der Kosekans.

Spezielle Werte

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei $G$ die Catalansche Konstante, $\zeta (x)$ die Riemannsche Zetafunktion und ${\rm {{Cl}_{2}}}$ die Clausen-Funktion bezeichnet.

${\begin{aligned}&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {2}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}-8G\\&\psi _{1}\,(1)&={}&\zeta (2)={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {5}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G-16\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\\&\psi _{1}\,(2)&={}&{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\end{aligned}}$

Einzelnachweise

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt §6.4
• Eric W. Weisstein: Trigamma Function. In: MathWorld (englisch).