Ungleichung von Schweitzer

Die Ungleichung von Schweitzer (englisch Schweitzer’s inequality) ist ein Ungleichung des mathematischen Gebiets der Analysis und in gewisser Weise komplementär zur Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Sie geht auf eine Arbeit eines Pál Schweitzer aus dem Jahre 1914 zurück, an die in der Folge eine Anzahl von weiterführenden Untersuchungen anschloss, welche weitere Ungleichungen gleichen Typs lieferten. Eng verwandt mit dieser Ungleichung ist nicht zuletzt die von dem sowjetischen Mathematikers Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch im Jahre 1948 vorgelegte Kantorowitsch-Ungleichung. Mit der schweitzerschen Ungleichung gewinnt man unter anderem gewisse obere Abschätzungen für die arithmetischen Mittelwerte von endlich vielen positiven Zahlen.

Formulierung

Die Ungleichung besagt folgendes:

Gegeben seien ein reelles Intervall $[m,M]\subset \mathbb {R} ^{>0}$ zu zwei positiven Zahlen $m\leq M$ und weiter eine natürliche Zahl $N>0$ sowie $N$ positive Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{N}\in [m,M]$.

Dann gilt:

$\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}\right)\cdot \left({\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{a_{k}}}\right)\leq {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}$  .

Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ sowie eine reelle Funktion $f\colon [a,b]\to [m,M]$ gegeben und sind $f$ und ebenso die zugehörige reelle Funktion $x\mapsto {\frac {1}{f(x)}}$ integrierbar, so gilt die Integralungleichung

$\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{f(x)}\,dx\right)\cdot \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{\frac {1}{f(x)}}\,dx\right)\leq {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}$  .

Verallgemeinerung

Im Band I ihres zweibändigen Lehrbuchs Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis präsentieren Georg Pólya und Gábor Szegö eine weitgehende Verallgemeinerung der schweitzerschen Ungleichung:

Gegeben seien zwei reelle Intervalle $[m_{1},M_{1}],[m_{2},M_{2}]\subset \mathbb {R} ^{>0}$ zu vier positiven Zahlen $m_{1}\leq M_{1},m_{2}\leq M_{2}$ und weiter eine natürliche Zahl $N>0$ sowie $2N$ positive Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{N}\in [m_{1},M_{1}]$ und $b_{1},\ldots ,b_{N}\in [m_{2},M_{2}]$.

Dann gilt:

$1\leq {\frac {\left(\sum _{k=1}^{N}{{a_{k}}^{2}}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{N}{{b_{k}}^{2}}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{N}{a_{k}b_{k}}\right)^{2}}}\leq \left({\frac {{\sqrt {\frac {M_{1}M_{2}}{m_{1}m_{2}}}}+{\sqrt {\frac {m_{1}m_{2}}{M_{1}M_{2}}}}}{2}}\right)^{2}$  .

Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ sowie zwei integrierbare reelle Funktionen $f_{1}\colon [a,b]\to [m_{1},M_{1}]$ und $f_{2}\colon [a,b]\to [m_{2},M_{2}]$ gegeben, so ist

$1\leq {\frac {\left(\int _{a}^{b}{[f_{1}(x)]^{2}\,dx}\right)\cdot \left(\int _{a}^{b}{[f_{2}(x)]^{2}\,dx}\right)}{\left(\int _{a}^{b}{f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx}\right)^{2}}}\leq \left({\frac {{\sqrt {\frac {M_{1}M_{2}}{m_{1}m_{2}}}}+{\sqrt {\frac {m_{1}m_{2}}{M_{1}M_{2}}}}}{2}}\right)^{2}$  .

Anmerkung

Manche Autoren bezeichnen die Ungleichung von Schweitzer, die oben genannte Ungleichung von Pólya-Szegö und auch weitere Ungleichungen ähnlichen Typs als zur Cauchy-Schwarz-Ungleichung komplementäre Ungleichungen (englisch complementary inequalities).

Literatur

• J. B. Diaz, F. T. Metcalf: Inequalities complementary to Cauchy's inequality for sums of real numbers. In: Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965, Academic Press, New York, London. 1967, S. 73–77 (MR0222228). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Georg Pólya, Gábor Szegö: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Band I: Reihen, Integralrechnung, Funktionentheorie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 73). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1970 (MR0271277). 
• P. Schweitzer: Egy egyenlötlenség az aritmetikai középértékröl [Eine Ungleichung im Zusammenhang mit dem arithmetischen Mittel]. In: Math. és phys. lapok. Band 23, 1914, S. 257–261. 
• Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965. Academic Press, New York, London 1967. 

Weblinks

• Ungleichung von Schweitzer und Beweise auf cut-the-knot.org